4) кредитных ресурсов, предоставляемых другими юридическими и физическими лицами (кредитные организации,
инвестиционные фонды, иностранные инвесторы, ростовщики и т.д.).
Таким образом, внешний кредитно-инвестиционный фактор дополняет действие рассмотренной положительной
обратной связи экономического объекта и определяет темпы динамики его развития. При этом важными оказываются как
величина осуществляемой кредитно-инвестиционной поддержки и её регулярность (динамика инвестиций во времени), так и
другие условия её предоставления (плата за инвестиционный ресурс в виде ставки процента за кредит, сроки возврата
кредита и т.д.).
Наблюдаемые в настоящее время условия формирующегося рынка, полная экономическая самостоятельность
предприятий, новая система взаимосвязей переменных, принципиально иная налоговая система требуют нового этапа
исследований для соответствующей адаптации этих методов и, в частности, учёта кредита, налоговых льгот для предприятий
и т.п. Предлагаемый в данной статье инструментальный комплекс состоит из четырёх дифференциальных моделей, и
представлен рис. 2.1.1. При построении моделей использовался принцип от простого к сложному.
Рассмотрим адаптированную к условиям турбулентной среды базовую модель динамики предприятия, использующего
внешние инвестиции как форму государственной поддержки (модель М1), представленную С.Р. Хачатряном и
предназначенную для промышленных предприятий, функционирующих в условиях, описываемых системой предпосылок:
1) предприятие может развиваться как за счёт внутренних источников (прибыли, амортизации), так и за счёт
государственной поддержки в виде инвестиций;
2) рассматриваются три различных стратегии государственной поддержки бизнеса: а) постоянная (с фиксированными
объёмами инвестиций для каждого периода); б) линейно возрастающая (с известным постоянным темпом роста инвестиций);
в) нелинейно возрастающая (с нарастающим темпом и минимальным уровнем гарантированного государственного
субсидирования). Собственная инвестиционная стратегия предприятия определяется долей чистой прибыли (которая
предполагается постоянной), отчисляемой на реинвестирование;
Рис. 2.1.1. Характеристика моделей промышленных предприятий
3) основные производственные фонды являются единственным лимитирующим фактором, от которого зависит выпуск
продукции;
4) любое предприятие функционирует при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи;
5) производственная деятельность описывается однофакторной функцией Леонтьева. Темпы развития предприятия
характеризуются динамикой основных производственных фондов, которые, в свою очередь, определяются величиной
инвестиционных ресурсов (отчислениями от прибыли и величиной финансовой поддержки), а также влиянием внешних
факторов с возмущением, прогнозировать которые мы не можем (инфляция, рост цен на сырьё).
Данная модель является адаптированной к изменениям внешней среды путём введения в выражение (2.1.5) обобщённой
функции, которая определяет появление возмущений в момент времени t0 , и величины внешних возмущений a ,
оказывающей влияние на основные производственные фонды.
Зависимости между основными переменными модели предприятия показывают взаимосвязь между агрегированными
переменными (такими, как объём выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их прироста, общая и
чистая прибыль, сумма налоговых отчислений и т.д.) и могут быть представлены следующей совокупностью уравнений:
где Р(t) – выпуск продукции в момент t в стоимостном выражении; f – показатель фондоотдачи; A(t) – стоимость
основных производственных фондов; с – доля удельной себестоимости выпуска продукции в стоимостном выражении;
Mоб (t) – общая прибыль предприятия; M(t) – чистая прибыль предприятия за вычетом налоговых отчислений; N(t) –
сумма налоговых отчислений; t1, t2 – ставки налогообложения на объём выпуска и прибыль соответственно; x – доля
чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование, 0 £ x £1; KL – коэффициент, отражающий долю реинвестируемых
средств прибыли, не имеющих льгот по налогообложению (не все реинвестируемые средства освобождаются от налогов),
характеризующий соотношение общей и чистой прибыли предприятия, и оцениваемый статистическим путём 0 < KL £ 1;
Комплекс динамических моделей промышленного предприятия
Базовая модель динамики предприятия
Модель динамики предприятия с нелинейными
производственными функциями
Модель динамики предприятия с равномерным погашением долга
Обобщённая динамическая модель с использованием комбинированных схем финансирования динамики предприятия
I (t) – внешние инвестиции, полученные предприятием; q(t) – функция Хевисайда (обобщённая функция); a – величина
внешних возмущений.
При этом уравнения: (2.1.1) – определяет линейную производственную функцию промышленного предприятия; (2.1.2) –
характеризует процесс формирования его общей прибыли за вычетом издержек производства; (2.1.3) – описывает величину
чистой прибыли за вычетом общей суммы налоговых отчислений; (2.1.4) – требует специальных пояснений. Уравнение
является обобщённым способом расчёта налоговых отчислений, представляющим собой линейную комбинацию
альтернативных вариантов налогообложения, действующих в бизнесе (предполагается, что переменные t1, t2 могут
принимать нулевые значения при отсутствии соответствующего налогового варианта). С достаточной условностью можно выделить три группы вариантов, определяющих зависимость налогов от: 1) объёмов производства; 2) общей прибыли; 3)
объёмов производства и общей прибыли. Так, в российских условиях, характеризующихся множественностью вариантов
налогообложения, налоги могут рассчитываться по одной из трёх схем: общей (третья группа); упрощённой в двух вариантах
(первая и вторая группа соответственно); вменённому доходу (первая группа). В целях общности описания в соотношении
(2.1.4) учтён также вариант льготного налогообложения инвестиционно активных предприятий, в соответствии с которым
реинвестированная часть чистой прибыли M(t) не облагается налогом. Таким образом, имеем:
где t1 , t2 – ставки налогообложения по действующему налоговому законодательству. Здесь льготы, предоставляемые
предприятиям, реинвестирующим свою прибыль в производство, учитываются с помощью доли инвестиционных
отчислений x и коэффициента KL (величина его обычно зависит от границы действия льгот x £ x ).
Уравнение (2.1.5) описывает динамику прироста основных производственных фондов за счёт собственных средств и
внешних инвестиций, при этом учитывается влияние внешних факторов с возмущением, прогнозировать которые мы не
можем (инфляция, рост цен на сырьё). Влияние возмущений происходит с помощью введения обобщённой функции, которая
оказывает воздействие на основные производственные фонды в определённый момент t0 времени.
Подставляя (2.1.2) и (2.1.4) в соотношение (2.1.3), получаем
Сопоставляя темпы роста основных фондов для различных вариантов инвестирования предприятия, убеждаемся в том,
что они соответствуют интенсивности финансовой поддержки, а также зависят от параметров, характеризующих
деятельность рассматриваемого экономического объекта, экономических характеристик предприятия, определяющих
значение переменной a , а также величины внешних возмущений a (см. (2.1.9) и (2.1.10)).
Математическая структура основного уравнения динамики промышленного предприятия (2.1.10), как и структура
полученных решений (2.1.12) – (2.1.14), соответствует результатам дифференциального анализа применительно к
предприятию как хозяйственному объекту. Однако экономическое содержание переменных, входящих в полученные
решения, для сопоставляемых исследований различно и определяется исходными посылками рассматриваемых в каждом
случае моделей.
Рассмотрим более сложный случай, при котором не только внешние, но и внутренние инвестиции предприятия
являются функцией времени. Этот случай учитывается в модели путём описания динамики переменной, отражающей долю
чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование, как известной функции времени x(t) . При любом виде функции x(t)
данная модель предприятия становится нелинейной.
По своему экономическому содержанию данная переменная – управляющий параметр, определяемый собственником
данного предприятия, и характеризующий размер средств, направляемых на потребление и накопление. Поэтому введение в
модель динамики переменной x(t) описывает определённую стратегию поведения руководства предприятия при
распределении чистой прибыли.
Примем следующие предпосылки.
Промышленное предприятие рассматривается на временном интервале [0, T] . Пусть x(t) – известная монотонно
возрастающая функция времени, для которой задан верхний предел изменения Y (определяемый экспертно или на основе
статистического анализа 0 < Y £1 , x(T) = Y ). Внешние инвестиции являются некоторой функцией времени I (t) , причём
Соотношение (2.1.15) – нелинейное дифференциальное уравнение с возбуждением, решение которого зависит от вида
функции I (t) . Если оно неразрешимо в явном виде относительно A(t) его можно решать приближёнными методами. Кроме
того, для него определяема верхняя оценка динамики A(t) .
Проинтегрировав обе части уравнения (2.1.15) на интервале [0, t] , получаем:
Исследование форсирующих факторов роста предприятия как функций времени показывает использование в
экономико-математическом анализе производственных функций нелинейного типа, что определяет необходимость
разработки соответствующих модификаций модели.
К числу экономических характеристик, влияющих на динамику развития предприятия, относится доля чистой прибыли,
направляемой на инвестирование. В связи с этим в данной работе рассмотрена ещё одна стратегия – стратегия
интенсификации внутреннего инвестирования, которая отражает тенденцию активизации процессов самофинансирования
предприятия, наблюдаемую в современных условиях некоторого ухудшения инвестиционного климата. При этом рост
внутренних инвестиций определяется долей чистой прибыли, задаваемой в виде возрастающей (например, степенной)
функции от времени. Проведя исследование видим, что в новых условиях модель М1 становится нелинейной, а решение
соответствующего ей нелинейного дифференциального уравнения зависит от вида правой части (функции внешнего
инвестирования). В том случае, если оно неразрешимо аналитически, оно решается приближёнными численными методами.
Оценка динамики основных фондов предприятия проводится также для случая изменяющейся во времени
фондоотдачи f (t). Этот случай соответствует внедрению новых технологий производства, обуславливающих рост
эффективности и повышение производительности труда, применению различных организационно-технических
мероприятий, изменяющих фондоёмкость процессов и т.д., и приводит к нелинейной модели. Общая оценка динамики
фондов описывается неравенством (2.1.19). Конкретная величина этой оценки определяется характером изменения функции
фондоотдачи f (t) , входящей в переменную a(t) . Фактически данный случай означает использование в модели предприятия
новой производственной функции. В связи с этим возникает задача проведения анализа динамики различных типов
предприятий, производственный процесс которых описывается разными производственными функциями, в том числе и
нелинейными.
2.2. МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Рассмотрим промышленное предприятие, функционирующее в условиях, описываемых той же системой предпосылок,
которая используется в адаптированной модели М1, показывающей взаимосвязь между агрегированными переменными
(такими как объём выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их прироста, общая и чистая прибыль,
сумма налоговых отчислений и т.д.) и учитывающей влияние турбулентной среды. Однако вместо однофакторной
производственной функции, описываемой соотношением (2.1.1), будем использовать нелинейные виды производственных
функций.
Адаптированная модель М2 основана на системе предпосылок 1 – 4 модели М1. Вместо линейной производственной
функции (предпосылка 5) используются нелинейные виды однофакторных производственных функций Леонтьева (см.
предпосылку 5 в адаптированной модели М1), в том числе:
1) степенная – для описания функционирования новообразованного предприятия, освоившего относительно свободную
рыночную нишу и имеющего высокий потенциал развития;
2) экспоненциальная, с затухающими темпами и наличием асимптоты – для предприятия, имеющего ограничения по
спросу.
Зависимости между основными переменными адаптированной модели М2 предприятия показывают взаимосвязь между
агрегированными переменными (такими, как объём выпуска, стоимость основных производственных фондов и темпы их
прироста, общая и чистая прибыль, сумма налоговых отчислений и т.д.) и могут быть представлены следующей
совокупностью уравнений:
2.4. ОБОБЩЁННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА
СТРАТЕГИЙ РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ И КОМБИНИРОВАННЫХ
СХЕМ ФИНАНСИРОВАНИЯ
Рассмотрим динамическую модель, предполагающую функционирование промышленного предприятия в условиях,
близких к описываемым в моделях М1 – М3, но отличающихся от них по следующим направлениям.
В указанных моделях М1 – М3 предполагалось, что если доля средств от чистой прибыли M(t) реинвестируемая в
развитие промышленного предприятия, составляет величину x , то оставшаяся часть этой прибыли в размере (1- x)M(t)
идёт на потребление. Однако при реализации инвестиционных проектов, а также в условиях привлечения кредитных
ресурсов и разных схем их погашения может возникнуть необходимость накопления средств для выполнения определённых
обязательств по погашению кредитной задолженности. В этом случае часть чистой прибыли в размере (1- c)(1-x)M(t) идёт
на потребление, а другая – в размере c(1- x)M(t) , где 0 £ c £1 , идёт на «внешние» вложения с использованием, например,
имеющихся в распоряжении промышленного предприятия финансовых инструментов. Целесообразность подобной
процедуры возникает лишь в том случае, когда доходность от используемых финансовых инструментов выше внутренней
инвестиционной доходности предприятия.
В данной модели считается, что промышленное предприятие может одновременно использовать четыре различных
финансово-инвестицион-
ных источника для своего развития: а) собственные средства (часть реинвестируемой прибыли); б) кредиты (предполагается,
что кредиты выдаются ежегодно в виде кредитной линии); в) государственная инвестиционная поддержка (предполагается в
виде государственного субсидирования кредитов – между величиной кредитов и государственными инвестициями
соблюдается известная пропорциональность на всём рассматриваемом промежутке времени); г) доход от внешних
инвестиций промышленного предприятия (за счёт части свободной прибыли). В моделях, рассмотренных ранее, учитывается
либо один, либо два из перечисленных выше источников финансирования.
Отличительной особенностью данной модели являются также условия предоставления и погашения кредита. В модели
М4 рассматриваются льготные условия кредитования, характерные именно для среднего и малого бизнеса: погашение
кредита осуществляется из двух источников: проценты включаются в себестоимость, основной долг компенсируется за счёт
внешнего инвестирования. Таким образом, внутренняя инвестиционная программа предприятия xM(t) сохраняется
неизменной.
Кроме того, в отличие от моделей М1 – М3, в уравнении динамики фондов учитывается процесс их выбытия, связанный
с моральным и физическим износом. Данная проблема актуальна для всех современных российских предприятий ввиду
значительной изношенности их основных фондов. К 2009 г. по экспертным оценкам прогнозируется беспрецедентный
(обвальный) уровень выбытия основных фондов, составляющий ввиду крайнего их износа до 70 – 80% их стоимости. В
описанной ситуации для обеспечения развития промышленного предприятия оказывается важным, во-первых, скорость
обновления фондов, во-вторых, размер и условия предоставления кредита (т.е. принятая схема кредитования). Эти условия
могут либо благоприятствовать успешному росту и развитию предприятия, либо тормозить темпы его динамики.
Предлагаемая адаптированная модель является в указанном смысле обобщённой и более полно отображает факторы,
влияющие на развитие промышленного предприятия. В обобщённой модели промышленного предприятия используются
гипотезы 1, 3, 4, 5 модели М1. Кроме того, добавлены следующие гипотезы: 2 – государственная поддержка определяется
спросом предприятия на кредиты; 6 – часть свободной прибыли предприятия размещается в доходные финансовые
инструменты; 7 – заёмные средства привлекаются в виде кредитной линии; 8 – основной долг погашается за счёт доходов от
внешнего инвестирования; 9 – учитывается процесс выбытия основных фондов.
С учётом сделанных предположений система соотношений промышленного предприятия для обобщённой
адаптированной модели может быть записана следующим образом:__
С этой целью исследованы полученные аналитические зависимости, описывающие различные варианты динамики
основных фондов и прибыли предприятия при различных схемах его кредитования.
Проведённые исследования позволяют повысить обоснованность и эффективность принимаемых инвестиционно-
финансовых решений в условиях турбулентного рынка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ашманов, С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. – М. : Наука, 1984.
2. Афанасьев, М.Ю. Исследование операций в экономике / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. – М. : ИНФРА-М, 2003.
3. Багриновский, К.А. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика) : учебное пособие / К.А.
Багриновский, В.М. Матюшок. – М. : Изд-во РУДН, 1999.
4. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – М. :
Финансы и статистика, 2001.
5. Бирман, И.Я. Оптимальная экономика / И.Я. Бирман. – М. : Экономика, 1968.
6. Егорова, Н.Е. Динамические модели развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы
/ Н.Е. Егорова, С.Р. Хачатрян. – М. : ЦЭМИ РАН, Препринт, 2001.
7. Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М. : ДИС,
1997.
8. Иванова, Н.Ю. Экономико-математическое моделирование малого бизнеса (обзор подходов) // Экономика и