Электрические заряды, поля и потенциалы

Люди, живущие в сухом климате, часто сталкиваются с таким явлением, как возникновение искр от трения при хождении по ковру Это явление называется электростатическим эффектом или процессом освобождения электрических за­рядов, возникающих из-за трения тканей друг об друга, турбулентности воздуха, атмосферного электричества и т д Существует две разновидности зарядов По­добные заряды отталкивают друг друга, а противоположные — притягиваются друг к другу Бенджамин Франклин (1706—1790) наряду с другими своими заслугами был также первым американским физиком Именно он дал названия двум типам зарядов один стал называться положительным, другой — отрицательным Эти на­звания сохранились и до настоящего времени Франклин провел очень элегант­ный эксперимент с воздушным змеем, летающим во время грозы, подтвердив­шим факт, что атмосферное электричество появляется в результате действия сил трения Во время проведения эксперимента ему очень повезло — он остался жив, в отличие от нескольких других европейских исследователей, пытавшихся повто­рить этот опыт и погибших от ран, полученных от молнии

Электростатический эффект возникает в результате механического перерасп­ределения зарядов Например, при натирании стеклянного стержня шелковой тканью происходит унос электронов с его поверхности, в результате чего в нем остается избыток положительных зарядов, что делает его положительно заряжен­ным Следует отметить, что электрические заряды не могут ни разрушаться, ни создаваться — они могут только перемещаться из одного места в другое Напри­мер, фраза «передача отрицательного заряда» означает, что электроны берутся с одного объекта и переносятся на другой, делая его отрицательно заряженным Объект, теряющий электроны, становится положительно заряженным

Электростатический эффект сказывается на совсем небольшом количестве электронов по сравнению с общим количеством заряженных частиц в объекте Реальное количество зарядов в каждом объекте очень велико Для иллюстрации этого посчитаем количество электронов в американской медной монете, досто­инством 1 цент [1] (Правда, в настоящее время 1-центовые монеты состоят из сплава цинка, гальванически покрытого медью, но до 1982 года они были из чис­той меди) Монета весит 3 1 г, поэтому нетрудно проверить, что общее количество атомов, входящих в ее состав, равно 2 9х10²² Ядро атома меди обладает положи­тельным зарядом 4 6x10 ¹⁸Кл и такой же заряд, но отрицательной полярности име­ют электроны Суммарный заряд всех электронов а, входящих в состав монеты,

| Глава 3. Физические приципы датчиков

равен (4.6x10 ¹⁸Кл/атом)х(2.9хШ²²атомов)или 1,ЗхШ⁵Кл, что является очень боль­шой величиной. Такой электронный заряд, полученный только от одной монеты, может служить источником тока 0.91 А, достаточного для питания 100-ваттной лампочки в течение 40 часов.

По своему отношению к электрическим зарядам материалы можно разделить на три группы: проводники, диэлектрики и полупроводники. В проводниках элек­трические заряды (электроны) свободно перемещаются внутри материала, тогда как в диэлектриках они этого делать не могут. Хотя в природе не существует иде­альных диэлектриков, изоляционные характеристики различных материалов до­вольно значительно отличаются друг от друга (например, у кварца и меди они различаются в 10²⁵ раз), поэтому многие материалы могут считаться очень хоро­шими диэлектриками. По своей способности проводить электричество полупро­водники находятся посередине между проводниками и диэлектриками. Самыми известными полупроводниками являются кремний и германий. При легирова­нии полупроводников небольшим количеством определенных элементов, их элек­трическая проводимость резко возрастает; для этой цели чаще всего применяют­ся мышьяк и бор.

На рис. ЗЛА показан объект, обладающий положительным электрическим зарядом q. Если в окрестность этого объекта внести небольшой тестовый поло­жительный заряд, на него начнут действовать электрические силы отталкива­ния. Если объект будет заряжен отрицательно, он станет притягивать тестовый заряд. В векторной форме силу отталкивания или притяжения можно выразить в виде вектора f (выделение указывает на то, что величина является вектором). Факт того, что сила действует на тестовый заряд при отсутствии физического контакта между зарядами, означает наличие электрического поля в пространстве между ними.

Электрическое поле в каждой точке можно определить по величине силы, действующей на заряд:

(А)

(Б)

Рис. 3.1 А — Положи­тельный тестовый заряд внесен в окрестность за­ряженного объекта, Б — электрическое поле сфе­рического объекта.

3.1. Электрические заряды, поля и потенциалы с |

Здесь Е — вектор того же самого направления, что и сила f, a q₀ является ска­лярной величиной. При этом тестовый заряд должен быть очень маленьким, что­бы не нарушать электрическое поле объекта. В идеальном случае он должен быть бесконечно малым, но поскольку любой заряд имеет квантовую природу, его ве­личина не может быть меньше заряда электрона: е = 1.602 х 10¹⁹Кл.

На рис. ЗЛА электрическое поле показано в виде силовых линий, которые в каждой точке пространства являются касательными к вектору силы. По опреде­лению силовые линии исходят из положительного заряженного объекта, а входят в отрицательно заряженный. Плотность силовых линий характеризуется напря­женностью электрического поля Е в конечном объеме пространства.

Для физиков любое поле — это физическая величина, которую можно одно­временно определить для всех точек внутри заданной области пространства. При­меры: температурные, электрические и магнитные поля. Переменная, характе­ризующая поле, может быть либо скаляром (пример - температурное поле), либо вектором (пример — гравитационное поле вокруг Земли). Поле может быть либо стационарным, либо изменяющимся во времени. Характеристикой любого век­торного поля является физическая величина, соответствующая распределению в нем векторов, называемая потоком (Ф). Слово поток произошло от латинского глагола fluere, что означает «протекать». Поток в любом поле можно сравнить со стационарным равномерным потоком жидкости (воды), описываемым вектором v, соответствующим постоянной скорости потока в любой заданной точке. В слу­чае электрического поля вектор v заменяется на вектор Е, являющийся его харак­теристикой, при этом поток Ф будет соответствовать совокупности всех силовых линий. Для гипотетической замкнутой поверхности S (поверхности Гаусса) связь между зарядом q и потоком Ф может быть записана в виде:

где έ₀ = 8.8542 x 10 ¹² Кл²/Н х м² — электрическая постоянная, или в виде интеграль­ной зависимости:

где интеграл равен Ф_E. В приведенных уравнениях, известных под названием за­кона Гаусса, заряд q соответствует полному заряду, заключенному внутри замкну­той поверхности. Если внутри замкнутой поверхности находится равное количе­ство положительных и отрицательных зарядов, полный поток Ф_Е будет равен нулю. Заряд снаружи этой поверхности никак не влияет на величину q, также как и рас­положение внутренних заряженных частиц никак не сказывается на его значе­нии. Из закона Гаусса можно сделать следующий важный вывод: заряд на изолиро­ванном проводнике всегда находится в равновесном состоянии и всегда располагает­ся на внешней стороне его поверхности. Справедливость этой гипотезы была дока­зана еще до того, как были сформулированы законы Гаусса и Кулона. Закон Куло­на является следствием закона Гаусса. Он гласит, что сила действующая на тесто­вый заряд, обратно пропорциональна квадрату расстояния до этого заряда:

Глава 3. Физические приципы датчиков

Другим следствием закона Гаусса является утверждение, что электрическое поле снаружи заряженного тела направлено перпендикулярно его поверхности (рис. 3.1 Б) и модуль векторов силовых линий может быть найден из уравнения:

где г — расстояние от центра сферы.

Аналогично этому можно записать выражение для электрического поля внут­ри однородной сферы с зарядом q. Силовые линии этого поля будут также иметь радиальное направление, а их модуль соответствовать выражению:

где Я — радиус сферы, а г — расстояние от центра сферы. Следует отметить, что в центре сферы (г = 0) электрическое поле равно нулю.

Если электрический заряд распределен вдоль бесконечно длинного тонкого стержня (рис. ЗЛА), силовые линии поля будут направлены перпендикулярно к нему, а его напряженность равна значениям, полученным из уравнения:

где г — расстояние до стержня (его толщина должна быть мала, чтобы ею можно было пренебречь), а λ— линейная плотность зарядов (заряд на единицу длины). Электрическое поле бесконечной заряженной пластины (рис. З.ЗБ) будет также перпендикулярно ее поверхности, а его напряженность определяться выражением:

где σ - плотность поверхностного заряда (заряда на единицу площади). Однако для изолированного проводящего объекта электрическое поле является в два раза сильней:

Разница между уравнениями (3.8) и (3.9) объясняется различиями в геомет­рии заряженных объектов: первый — бесконечная пластина, второй — тело произ­вольной формы. Очень важным следствием из закона Гаусса является то, что элек­трические заряды распределяются только по внешней поверхности заряженного тела. Это происходит в результате действия сил отталкивания между одноименны­ми зарядами, поэтому все одинаково заряженные частицы стараются отодвинуться друг от друга на максимально возможное расстояние. Единственный способ это сделать — переместиться на самую дальнюю точку объекта, т.е. на его поверхность. Из всех мест на поверхности объекта самыми предпочтительными для расположе­ния зарядов (самыми удаленными) являются места наибольшей выпуклости, здесь

(А) (Б) (В)

Рис.3.2 Электрическое поле вокруг бесконечного тонкого стержня (А), в ок рестности бесконечной пластины (Б) Силовые линии электрическо го поля с различной концентрацией, отображающие изменение гео метрии объекта (В)

и наблюдается наивысшая концентрация силовых линий (рис 3 2В) Очень полез­ным научным и инженерным устройством является цилиндр Фарадея камера, пол­ностью покрытая либо заземленными токопроводяшими листами, либо металличес­кой сеткой Вне зависимости от того, насколько сильно внешнее электрическое поле, поле внутри такого устройства будет практически равно нулю Именно поэтому ав­томобили и металлические корабли являются лучшими укрытиями во время грозы, поскольку они работают как виртуальные устройства Фарадея Но всегда следует по­мнить, что хотя такие устройства являются блестящей защитой от электрических по­лей, они практически бесполезны против магнитных полей, если только их стенки не выполнены из толстых ферромагнитных материалов

Электрический диполь — это комбинация двух разноименных зарядов, распо­ложенных на расстоянии 2а друг от друга (рис 3 ЗА) Каждый из зарядов будет действовать на внесенный тестовый заряд с силой, определяемой их электричес­кими полями Ej и Е₂ Результирующее электрическое поле диполя Е определяется из суммы векторов напряженности двух полей Модуль вектора Е может быть най­ден из уравнения

где r — расстояние от центра диполя Важными характеристиками распределения зарядов в этом случае являются величина заряда q и расстояние 2а В выражение (3 10) входит произведение этих величин, это означает, что при измерении на­пряженности электрического поля Е на различном расстоянии от диполя (счита ется, что это расстояние должно быть намного больше а), никогда не удастся по­лучить раздельные значения q и 2а, а только их произведение Например, при од­новременном удвоении q и уменьшении а в два раза, величина электрического

Глава 3. Физические приципы датчиков

поля останется неизменной. Произведение 2qa называется дипольным моментом р. Теперь выражение (3.10) можно записать в виде:

Пространственное расположение диполя характеризуется его моментом, выра­женным в векторном виде: р. Не все материалы обладают дипольным моментом. Его нет у таких газов, как метан, ацетилен, этилен, диоксид углерода и многих других. При этом оксид углерода обладает слабым дипольным моментом (0.37x10 ³⁰ Клхм). В качестве примера вещества с сильным дипольным моментом можно назвать воду (6.17 x 10 ³⁰ Кл х м).

Рис. 3.3 А — электрический диполь, Б — диполь в электрическом поле подвер­гается действию силы вращения.

Диполи были обнаружены в некоторых материалах с кристаллической струк­турой. Это позволило реализовать пьезоэлектрические и пироэлектрические де­текторы. Первоначальная ориентация диполя определяется типом кристалличес­кой решетки. Когда диполь помещается в электрическое поле, на него начинают действовать силы вращения (рис. З.ЗБ). Если электрическое поле достаточно силь­ное, диполь занимает положение вдоль его силовых линий. Вращательный мо­мент, действующий на диполь в это время, может быть записан в векторной фор­ме в следующем виде:

τ= рЕ

(3 12)

Для изменения ориентации диполя во внешнем электрическом поле должна быть совершена работа. Эту работу можно выразить в виде потенциальной энергии U, запасенной в системе диполь — устройство, генерирующее внешнее электричес­кое поле. В векторной форме эта потенциальная энергия имеет вид:

U = -рЕ.

(3 13)

Процесс изменения ориентации диполя называется поляризацией. Приложенное электрическое поле должно быть достаточно сильным для возможности

преодоления сил, стремящихся сохранить кристаллическую решетку материала неизменной. Для упрощения процесса поляризации прибегают к нагреву мате­риала, что повышает подвижность его молекулярной структуры. Поляризация применяется при изготовлении пьезоэлектрических и пироэлектрических кри­сталлов.

Электрическое поле вокруг заряженного объекта может быть описано не толь­ко вектором напряженности Е, но и скалярной величиной, называемой электри­ческим потенциалом V. Обе эти величины тесно связаны друг с другом, и какую из них применять на практике, как правило, диктуется соображениями удобства. Потенциал редко используется для описания электрических полей в заданной точке пространства. На практике чаще применяется понятие разности потенциа­лов (напряжения) между двумя точками. Для нахождения напряжения между дву­мя произвольными точками можно применить метод тестового заряда, описанный выше. Роль тестового заряда здесь играет очень маленький положительный заряд q₀. Пусть электрический заряд помещен в точку А, где он находится в состоянии рав­новесия (теоретически, бесконечно долгое время), при этом на него действует сила, равная q₀E. Если теперь мы попытаемся переместить заряд из точки А в точку В, нам придется совершить работу по преодолению этой силы. Работу W_AB , выпол­ненную против сил электрического поля для перемещения заряда из точки А в точку В можно выразить через величину напряжения между этими точками:

В соответствии с этим выражением можно утверждать, что электрический потенци­ал в точке В меньше потенциала в точке А. В системе СИ единица измерения на­пряжения 1 Вольт определяется равной отношению 1 джоуля на 1 кулон (1 В = 1Дж/Кл). Для удобства точка А выбирается на расстоянии, значительно удален­ном от всех остальных зарядов (теоретически, на бесконечно большом расстоя­нии), и электрический потенциал в этой точке считается равным нулю. Исходя из этого, электрический потенциал в любой другой точке пространства можно оп­ределить как:

Из этого уравнения видно, что потенциал в окрестности положительного заряда является положительным. Это объясняется тем, что при перемещении положи­тельного тестового заряда из бесконечности в конкретную точку пространства была выполнена работа на преодоление сил отталкивания. Поэтому знак минус из фор­мулы можно убрать. Следует отметить, что разность потенциалов между двумя точками не зависит от траектории перемещения тестового заряда. Она только описывает разницу электрического поля между двумя выбранными точками. При измерении величины К в точках, расположенных вдоль прямой линии, оказалось, что скорость изменения параметра К при перемещении заряда вдоль пути l соот­ветствует напряженности поля Е в этом направлении, т.е.

Глава 3. Физические приципы датчиков

Минус в этой формуле означает, вектор Е направлен в сторону уменьшения пара­метра V. Поэтому напряженность электрического поля можно измерять в едини­цах вольт/метр (В/м).

Емкость

Рассмотрим два объекта произвольной формы, выполненные из токопроводящего материала, (например, пластины), и подсоединим их к противоположным полю­сам батареи (рис. 3.4А). При этом пластины получат одинаковое количество разно­именных зарядов, это означает, что отрицательно заряженная пластина получила дополнительное количество электронов, в то время как, положительно заряженная пластина потеряла такое же количество электронов. Теперь батарею отсоединим. Если бы пластины были полностью изолированы друг от друга и находились в ва­кууме, они бы сохраняли полученный заряд бесконечно долго. Устройство из двух пластин, способных сохранять электрический заряд, называется конденсатором. Если между двумя заряженными объектами поместить тестовый положительный заряд q₀, на него начнет действовать электрическая сила, направленная от положи­тельной пластины к отрицательной. Положительно заряженная пластина будет от­талкивать тестовый заряд, а отрицательно заряженная — притягивать его. В зависи­мости от расположения тестового заряда между пластинами, эта сила будет иметь разное направление и величину, характеризуемые вектором f

Рис. 3.4 А — Электрический заряд и напряжение определяют емкость между двумя объектами, Б — конденсатор с параллельными пластинами.

Конденсатор характеризуется величиной заряда q, накопленного на обоих пластинах, и напряжением V — положительной разностью потенциалов между ними (рис. 3.4А). Следует отметить, что q не соответствует суммарному заряду кон­денсатора, равного нулю, а Кне является потенциалом каждой пластины, а выра­жает разность потенциалов между ними. Отношение заряда к напряжению явля­ется константой для каждого конденсатора:

Постоянная величина С называется емкостью конденсатора. Величина емкости за­висит от формы пластин и их расположения друг относительно друга, а также от свойств среды между ними. Отметим, что величина С всегда положительная, пото­му что в формуле (3.17) заряд и напряжение берутся одного знака. В системе СИ единицей емкости является Фарад: 1 фарад = 1 Кулон/Вольт (Ф = Кл/В). Но фарад соответствует очень большой емкости, поэтому на практике используются следую­щие производные от него:

1 пикофарад (пФ) = 10 ¹²Ф,

1 нанофарад (нФ) = 10⁹ Ф,

1 микрофарад (мкФ) = 10⁶ Ф.

При включении в электронную схему емкость конденсатора может быть вы­ражена в виде комплексного сопротивления:

Где j = √-1, а i — это синусоидальный ток с частотой ω. Из формулы видно, что ком­плексное сопротивление конденсатора уменьшается с ростом частоты. Выражение (3.18) называется законом Ома для конденсаторов. Знак минус в этой формуле оз­начает, что напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90°.

Конденсатор — это очень полезный электрический элемент, часто используе­мый в составе различных датчиков, например, для измерения расстояния, площа­ди, объема, давления, силы и т.д. В следующих разделах будут рассмотрены основ­ные свойства конденсаторов и приведены некоторые полезные соотношения. На рис. 3.4Б показан конденсатор с параллельными пластинами, в котором проводни­ки имеют форму пластин площади А, расположенные параллельно на расстоянии d друг от друга. Если расстояние d гораздо меньше, чем размеры пластин, электри­ческое поле между ними будет однородным. Это означает, что силовые линии f яв­ляются параллельными и равномерно расположенными. Из законов электромаг­нетизма следует, что на концах пластин крайние силовые линии будут немного ис­кажаться, но для достаточно малых значений d мы можем этим пренебречь.

Конденсатор

Для вычисления емкости необходимо знать разность потенциалов между пласти­нами V и заряд конденсатора q:

Глава 3. Физические приципы датчиков

Существует еще одна формула для нахождения емкости плоского конденсатора:

Именно эта зависимость чаще всего используется при проектировании емкостных датчиков. Она устанавливает взаимосвязь между площадью пластин и расстоянием между ними. При изменении одного из этих параметров меняется значение емкос­ти, что может быть достаточно точно измерено при помощи соответствующих схем. Следует отметить, что уравнения (3.19) и (3.20) справедливы только для конденса­торов с параллельными пластинами. Изменение геометрии пластин приведет к модификации этих формул. Отношение A/d часто называют геометрическим фак­тором конденсатора с параллельными пластинами.

На рис. 3.5А показан цилиндрический конденсатор. Он состоит из двух коак­сиальных цилиндров, радиусы которых равны ей*, а длина - /. Если l»b, крае­выми эффектами можно пренебречь, а для вычисления емкости использовать сле­дующую формулу:

В этом выражении / — длина зоны перекрытия двух цилиндров (рис. 3.5Б), а ко­эффициент 2π/lп(Ь/а) называется геометрическим фактором коаксиального кон­денсатора. Если внутренний цилиндр способен вдвигаться внутрь внешнего ци­линдра и выдвигаться из него, на основании такой конструкции можно реализо­вать датчик перемещений, обладающий линейной зависимостью между емкос­тью и перемещением (см. уравнение 3.21).

Рис. 3.5 А — цилиндрический конденсатор, В — емкостной датчик перемеще­ния

Поиск по сайту: