Решение: нас с нетерпением ждут две параболы с бзиком, которые лежат на боку. Улыбаться не нужно, похожие вещи в кратных интегралах встречаются частенько
Представим параболу в виде двух функций: – верхняя ветвь и – нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней ветвей.
Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: . Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.
Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:
Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.
Согласно второму способу, обход области будет следующим:
Таким образом:
Как говорится, ощутите разницу.
1) Расправляемся с внутренним интегралом:
Результат подставляем во внешний интеграл:
2)
Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урокаКак вычислить объем тела вращения, тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».
Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на урокеЭффективные методы вычисления определённого интеграла.
Что добавить…. Всё!
Ответ:
Для проверки своей технике интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.
Пример 12
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями
Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.
Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений. Постараюсь во второй статье так не маньячить =)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:Изобразим область на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом: Перейдём к обратным функциям: Изменим порядок обхода области:
Таким образом: Ответ:
Пример 4: Решение: Перейдём к прямым функциям:
Выполним чертёж:
Изменим порядок обхода области:
Ответ:
Пример 6: Решение: Выполним чертеж:
Перейдем к обратным функциям:
Изменим порядок интегрирования, разделив область интегрирования на две части. При этом порядок обхода области: 1) , 2) Ответ:
Пример 8: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:
Перейдём к обратным функциям:
Изменим порядок обхода тела:
Ответ:
Пример 10: Решение:Изобразим область на чертеже:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом: 1) 2) Ответ:
Пример 12: Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле: