Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Рассмотрение данного вопроса начнём с простых примеров

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Пример 2.11. Вычислить интеграл

Решение.

т.е. значение данного интеграла равно 1. Исходя из геометрического смысла определённого интеграла, мы вычислили площадь фигуры, изображённой на рисунке 2.19

Рис. 2.19

Отсюда следует, что . Напомним, что в п.2.18 отмечалось, что возможен геометрический поход к определению логарифмической функции. Таким образом,

Геометрическое определение логарифмической функции

Примеры 2.12. Вычислить и рассмотреть с геометрической точки зрения следующие интегралы:

Решение.

Как и в предыдущем примере, вычисляя данные интегралы, фактически мы решили три геометрические задачи: вычислили площади фигур, изображённых на рисунках 2.20 – 2.22

Рис. 2.20

Рис. 2.21

Рис.2.22

Таким образом, если функция неотрицательна и непрерывна на отрезке , то в силу геометрического смысла определённого интеграла площадь под кривой на отрезке численно равна определённому интегралу :

(2.25)

Пример 2.13.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Рис. 2.23

Решение.Из чертежа (рис. 2.23) видно, что искомая площадь криволинейного треугольника равна разности двух площадей:

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла. Решая систему получаем, что точка пересечения прямой и кривой имеет координаты (2 ; 4). Тогда

Окончательно .

Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом. Сделаем сначала некоторые замечания общего характера.

По определению определенного интеграла

Это равенство можно понимать так, что при построении интегральной суммы разбиению подвергается отрезок оси ординат. Соответственно точки - это оснащение , соответствующее данному разбиению. Поэтому, если на , то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , (рис. 2.24). (Другими словами, в данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось )

Рис 2.24

Теперь возвращаясь к задаче нашего примера, можем записать:

Пусть функция неположительна и непрерывна на (рис. 2.25) . Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью криволинейной трапеции «над кривой» на и интегралом

Рис.2.25

Отражая кривую относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением . Функция уже неотрицательна на , а площадь под этой кривой на из соображений симметрии равна площади (рис. 2.26). Тогда

Рис. 2.26

(2.26)

Таким образом, если функция неположительна на , то площадь над кривой на отличается знаком от определенного интеграла .

Пример 2.14.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Рис. 2.27

Решение.Из рис. 2.27 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника может рассматриваться как площадь над ломаной на отрезке . Однако указанная ломаная не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения разобьем криволинейный треугольник на части, проецируя точку излома на ось абсцисс. Тогда (рис. 2.27). Абсциссы точек , , задают пределы интегрирования (Проверку того, что координаты точек , , равны , , соответственно предлагается провести самостоятельно).

Окончательно .

Пусть на отрезке задана непрерывная функция общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет знакопостоянна или равна нулю. Выясним, какая в данном случае существует связь между определенным интегралом и площадями возникающих криволинейных трапеций. Рассмотрим, например, случай функции, изображенной на рис. 2.28.

Рис. 2.28

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью складывается из трёх площадей: , т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Сделанные замечания позволяют дать еще одну геометрическую интерпретацию теоремы о среднем. Равенство (2.15) можно переписать в виде

т.е. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка , что после сдвига исходной кривой вдоль оси ординат на величину для полученной кривой площади частей криволинейной трапеции, расположенных выше и ниже оси , равны (например, на рис. 2.29 ).

Рис.2.29

Приведем формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема 2.9.Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле