Теорема существования определённого интеграла

Приведённые примеры помогают осознать понятие определённого интеграла как предела интегральных сумм и оценить следующую важную теорему.

Теорема 2.1. (Существование определённого интеграла).Если функция непрерывна отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует определённый интеграл .

Приведём пример нахождения определённого интеграла на основании определения 2.1.

Пример 2.3.Вычислить .

Пусть – дробление отрезка с помощью равноотстоящих точек: Выберем оснащение : – совокупность правых концов частичных отрезков. Составим интегральную сумму

.

Известно, что сумма квадратов первых чисел натурального ряда вычисляется по формуле

.

(2.4)

Поэтому

.

Отметим, что функция интегрируема в силу своей непрерывности (теорема 2.1.). Поэтому выбор дробления и оснащения не влияет на предел интегральной суммы.

Приведённый пример показывает, что вычисление определённого интеграла как предела интегральных сумм оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Такая возможность существует далеко не всегда. Задача интегрирования конкретных функций с помощью определения 2.1 чрезвычайно сложна. Существует эффективный метод вычисления определённых интегралов с помощью так называемой формулы Ньютона-Лейбница, которая будет рассмотрена в п.2. 19.

2.10. Свойство аддитивности¹⁾ интеграла

Если функция интегрируема на отрезке , точка , то имеет место формула

,

(2.5)

т.е. определённый интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Пусть функция неотрицательна на отрезке и . Согласно геометрическому свойству определённого интеграла , , , где - площади под кривой на отрезках соответственно. Поэтому равенство

__________________________________________

(2.5) утверждает наличие следующего очевидного соотношения между этими площадями: .

Рис. 2.9

________________________________

¹⁾Аддитивность (от латинского additives – прибавляемый) – свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части. Например, аддитивность площади (объёма) означает, что площадь целой фигуры (целого тела) равна сумме площадей (объёмов) составляющих частей/

Отметим, что соотношение (2.9) справедливо при любом расположении точек . Пусть и функция неотрицательна на отрезке (рис. 2.10). Тогда

.

Рис. 2.10

Отсюда следует формула (2.5), утверждающая следующее очевидное соотношение между площадями: , где - площадь под кривой на отрезке .

Поиск по сайту: