Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Геометрический смысл интегральной суммы



Глава 2. Определённый интеграл

 

Задача о площади криволинейной трапеции

 

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Требуется найти площадь под кривой на отрезке - площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью абсцисс (рис.2.1.).

 

 

Рис. 2.1 Рис. 2.2

 

Наметим общий подход к решению этой задачи. Построим ломаную, достаточно близко расположенную к кривой на (рис. 2.2.). Фигура под ломанойсостоит из трапеций и прямоугольников, её площадь может быть вычислена с помощью известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , имеем приближённое равенство .

Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому за искомую площадь можно принять предел переменной площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к кривой.

Приведённые рассуждения носят качественный характер. Для того, чтобы их можно было использовать на практике, необходимо дать строгое описание процедуры выбора ломаной и последующую предельного перехода. На этом пути мы придём к понятию определённого интеграла.

 

Интегральные суммы

 

Пусть функция определена на отрезке . Пусть - упорядоченная совокупность точек отрезка :

 

.

 

Точки разбивают (дробят) отрезок на произвольных частей. Назовём такое разбиение отрезка дроблением ,точки будем называть точками дробления .

Обозначим через - длину частичногоотрезка

Выберем на каждом частичном отрезке произвольную точку . Совокупность точек назовём оснащениемдробления .Отметим, что всякое дробление имеет бесконечно много оснащений.

Составим сумму

Сумму называют интегральной суммойдля функции на отрезке . Итак,

 
 

 


Интегральная сумма данной функции на данном отрезке зависит от дробления ,число точек которого может быть сколь угодно большим, и от выбора оснащения .

 

Геометрический смысл интегральной суммы

 

В случае, когда функция неотрицательна на отрезке , интегральная сумма имеет простой геометрический смысл: она совпадает с площадью ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами соответственно. Верхняя граница ступенчатой фигуры – ломаная с горизонтальными звеньями, которая в той или иной степени приближает кривую (см. п.1.1).

Отметим, что вообще говоря, расстояние между соседними точками дробления являются различными.

 

На рисунке 2.3 изображено дробление отрезка с помощью равноотстоящих точек. Ему соответствует оснащение из середин частичных отрезков.

 

 

Рис. 2.3

 

Ранг дробления

 

Рангом дробления назовём длину наибольшего частичного отрезка:

 

.

 

Если дробление очень мелкое, т.е. если число очень мало, то число точек этого дробления велико. Обратное неверно: дробление, содержащее много точек, не обязано быть мелким (рис. 2.4).

 

 

Рис. 2.4

 

Определение интеграла

 

Интегральные суммы функции на отрезке изменяются при изменении дробления и оснащения отрезка. Возникает вопрос о пределе интегральных сумм.

Определение 2.1.Функцию называют интегрируемойна отрезке , если при стремлении ранга дробления к нулю существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от вида дробления отрезка , ни от выбора соответствующего оснащения. Этот предел называют интегралом функции по отрезку и обозначают символом .

Число называют также определённым интегралом функции по отрезку , чтобы подчеркнуть его отличие от неопределённого интеграла.

Итак,

 

. (2.1)

 

Здесь, как и в случае неопределённого интеграла, подынтегральная функция, подынтегральное выражение.

Концы отрезка называют пределами интегрирования: нижний предел, верхний предел, промежуток интегрирования.

Замечание 2.1. Условимся использовать символ и в тех случаях, когда . Положим

 

(2.2)

 

(2.3)

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.