Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Требуется найти площадь под кривой на отрезке - площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью абсцисс (рис.2.1.).
Рис. 2.1 Рис. 2.2
Наметим общий подход к решению этой задачи. Построим ломаную, достаточно близко расположенную к кривой на (рис. 2.2.). Фигура под ломанойсостоит из трапеций и прямоугольников, её площадь может быть вычислена с помощью известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , имеем приближённое равенство .
Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому за искомую площадь можно принять предел переменной площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к кривой.
Приведённые рассуждения носят качественный характер. Для того, чтобы их можно было использовать на практике, необходимо дать строгое описание процедуры выбора ломаной и последующую предельного перехода. На этом пути мы придём к понятию определённого интеграла.
Интегральные суммы
Пусть функция определена на отрезке . Пусть - упорядоченная совокупность точек отрезка :
.
Точки разбивают (дробят) отрезок на произвольных частей. Назовём такое разбиение отрезка дроблением ,точки будем называть точками дробления .
Обозначим через - длину частичногоотрезка
Выберем на каждом частичном отрезке произвольную точку . Совокупность точек назовём оснащениемдробления .Отметим, что всякое дробление имеет бесконечно много оснащений.
Составим сумму
Сумму называют интегральной суммойдля функции на отрезке . Итак,
Интегральная сумма данной функции на данном отрезке зависит от дробления ,число точек которого может быть сколь угодно большим, и от выбора оснащения .
Геометрический смысл интегральной суммы
В случае, когда функция неотрицательна на отрезке , интегральная сумма имеет простой геометрический смысл: она совпадает с площадью ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами соответственно. Верхняя граница ступенчатой фигуры – ломаная с горизонтальными звеньями, которая в той или иной степени приближает кривую (см. п.1.1).
Отметим, что вообще говоря, расстояние между соседними точками дробления являются различными.
На рисунке 2.3 изображено дробление отрезка с помощью равноотстоящих точек. Ему соответствует оснащение из середин частичных отрезков.
Рис. 2.3
Ранг дробления
Рангом дробления назовём длину наибольшего частичного отрезка:
.
Если дробление очень мелкое, т.е. если число очень мало, то число точек этого дробления велико. Обратное неверно: дробление, содержащее много точек, не обязано быть мелким (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Определение интеграла
Интегральные суммы функции на отрезке изменяются при изменении дробления и оснащения отрезка. Возникает вопрос о пределе интегральных сумм.
Определение 2.1.Функцию называют интегрируемойна отрезке , если при стремлении ранга дробления к нулю существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от вида дробления отрезка , ни от выбора соответствующего оснащения. Этот предел называют интегралом функции по отрезку и обозначают символом .
Число называют также определённым интегралом функции по отрезку , чтобы подчеркнуть его отличие от неопределённого интеграла.
Итак,
.
(2.1)
Здесь, как и в случае неопределённого интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.
Концы отрезка называют пределами интегрирования: – нижний предел, – верхний предел, – промежуток интегрирования.
Замечание 2.1. Условимся использовать символ и в тех случаях, когда . Положим