Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Метод замены переменной. Основные теоремы



 

Метод замены переменной, или метод подстановки– один из основных методов интегрирования. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 1.3.Пусть функция - первообразная функции на промежутке . Пусть – некоторая дифференцируемая функция, множеством значений которой является промежуток . Тогда сложная функция есть первообразная функции .

Доказательство. Используя правило дифференцирования сложной функции (правило «цепочки»), получим:

 

 

Пример 1.12. - первообразная функции на промежутке . Дифференцируемая функция имеет область значений . Сложная функция - первообразная функции .

Суть теоремы 1.3. можно представить схематически:

 

 

 
 


(1.9)

       
   
 
 
 
Формулы интегрирования сохраняют свою структуру инвариантны – при замене независимой переменной на любую дифференцируемую функцию , имеющую соответствующую область значений.  

 


Примеры 1.13.

 

 

;

 

.

 

1.17. Замена переменной. Способ 1.

 

Рассмотрим схему и простейшие примеры использования утверждения (1.9).

Пусть требуется вычислить неопределённый интеграл . Утверждение (1.9) можно использовать для этого двумя способами.

 

Способ 1.Этот способ состоит в том, чтобы представить подынтегральное выражение в виде , где функция обладает известной первообразной, а функция дифференцируема и имеет область значений, совпадающую с областью определения функции . Если это удастся, то неопределённый интеграл можно вычислить с помощью утверждения (1.9).

 

Примеры 1.14.

 

 

Подынтегральное выражение можно представить в виде . Здесь . Утверждение (1.9) принимает вид:

 

Поэтому

 

.

 

 

Замечание 1.3. Функция определена на промежутке . В точке она не дифференцируема и является первообразной функции только на открытом промежутке , т.е. на области определения этой функции.

Выполняя все детали вычисления неопределённого интеграла, следует помнить, на каком именно промежутке мы вычисляем первообразную.

Способ 1 применим к интегралу , где и – произвольные числа. В результате имеем формулу

 

  (1.10)

 

Примеры 1.15.

 

 

 

3. =

 

Используя формулу (1.10) внесём в таблицу интегралов следующие формулы:

 

 

Действительно,

 

 

 

 

1.18. Замена переменной в интеграле. Способ 2

 

Второй способ применения утверждения (1.9) при вычислении интеграла состоит в подборе дифференцируемой функции , имеющей соответствующую область значений, такой, что известно, как вычислить интеграл . В этом случае принято для удобства записи наряду с независимой переменной рассматривать новую независимую переменную как бы заданную на втором экземпляре числовой прямой. Метод интегрирования с помощью подстановки описывается следующим образом: в интеграле положим и вычислим интеграл

 

а затем вернёмся к старой переменной, выразив через , т.е. вместо рассмотрим . Это и есть первообразная функции . В частности, возможность вернуться от к должна быть обеспечена строгой монотонностью функции на соответствующем промежутке.

Пример 1.16.Вычислим интеграл , используя подстановку .

 

 

Поскольку на отрезке функция строго возрастает, то существует обратная функция . В результате получаем

 

 

1.19. Интегрирование по частям

 

Метод интегрирование по частям основан на формуле дифференцирования произведения двух функций.

 

Теорема 1.4.Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке . Пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция тоже имеет первообразную на промежутке и справедлива формула

 

(1.12)

 

Доказательство. Из равенства

 

следует, что .

Первообразной функции на промежутке является функция . Функция имеет первообразную на , по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на . Интегрируя последнее равенство, получим формулу (1.12)

Формулу (1.12) называют формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Поскольку , то формулу (1.12) можно записать в следующем виде

(1.13)

Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла . В ряде конкретных случаев последний интеграл вычисляется без труда.

Большую часть интегралов, берущихся по частям, можно разбить на три основных группы:

IК первой группе относятся интегралы от функций, содержащих в качестве множителя одну из следующих функций:

 

 

Для вычисления интегралов этой группы следует применить формулу (1.12), положив в ней равной одной из указанных функций

 

Примеры 1.17.

 

Положим

Тогда

 

 

 

 

 

II Ко второй группе относятся интегралы вида

 

где - некоторые числа, - любое натуральное число.

Интегралы этой группы вычисляются путём применения формулы (1.12) раз. В качестве берётся функция .

 

Пример 1.18.

 

 

III К третьей группе относятся интегралы вида

 

.

 

Пример 1.19.

 

 

Для вычисления интеграла снова применим формулу (1.13): положим тогда

 

Таким образом, в результате двукратного интегрирования по частям для данного интегралаI получим уравнение

Из этого уравнения получаем

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.