Метод замены переменной, или метод подстановки– один из основных методов интегрирования. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема 1.3.Пусть функция - первообразная функции на промежутке . Пусть – некоторая дифференцируемая функция, множеством значений которой является промежуток . Тогда сложная функция есть первообразная функции .
Доказательство. Используя правило дифференцирования сложной функции (правило «цепочки»), получим:
Пример 1.12. - первообразная функции на промежутке . Дифференцируемая функция имеет область значений . Сложная функция - первообразная функции .
Суть теоремы 1.3. можно представить схематически:
(1.9)
Формулы интегрирования сохраняют свою структуру
– инвариантны –
при замене независимой переменной
на любую дифференцируемую функцию ,
имеющую соответствующую область значений.
Примеры 1.13.
;
.
1.17. Замена переменной. Способ 1.
Рассмотрим схему и простейшие примеры использования утверждения (1.9).
Пусть требуется вычислить неопределённый интеграл . Утверждение (1.9) можно использовать для этого двумя способами.
Способ 1.Этот способ состоит в том, чтобы представить подынтегральное выражение в виде , где функция обладает известной первообразной, а функция дифференцируема и имеет область значений, совпадающую с областью определения функции . Если это удастся, то неопределённый интеграл можно вычислить с помощью утверждения (1.9).
Примеры 1.14.
Подынтегральное выражение можно представить в виде . Здесь . Утверждение (1.9) принимает вид:
Поэтому
.
Замечание 1.3. Функция определена на промежутке . В точке она не дифференцируема и является первообразной функции только на открытом промежутке , т.е. на области определения этой функции.
Выполняя все детали вычисления неопределённого интеграла, следует помнить, на каком именно промежутке мы вычисляем первообразную.
Способ 1 применим к интегралу , где и – произвольные числа. В результате имеем формулу
(1.10)
Примеры 1.15.
3. =
Используя формулу (1.10) внесём в таблицу интегралов следующие формулы:
Действительно,
1.18. Замена переменной в интеграле. Способ 2
Второй способ применения утверждения (1.9) при вычислении интеграла состоит в подборе дифференцируемой функции , имеющей соответствующую область значений, такой, что известно, как вычислить интеграл . В этом случае принято для удобства записи наряду с независимой переменной рассматривать новую независимую переменную как бы заданную на втором экземпляре числовой прямой. Метод интегрирования с помощью подстановки описывается следующим образом: в интеграле положим и вычислим интеграл
а затем вернёмся к старой переменной, выразив через , т.е. вместо рассмотрим . Это и есть первообразная функции . В частности, возможность вернуться от к должна быть обеспечена строгой монотонностью функции на соответствующем промежутке.
Пример 1.16.Вычислим интеграл , используя подстановку .
Поскольку на отрезке функция строго возрастает, то существует обратная функция . В результате получаем
1.19. Интегрирование по частям
Метод интегрирование по частям основан на формуле дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 1.4.Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке . Пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция тоже имеет первообразную на промежутке и справедлива формула
(1.12)
Доказательство. Из равенства
следует, что .
Первообразной функции на промежутке является функция . Функция имеет первообразную на , по условию теоремы. Следовательно, и функция имеет первообразную на . Интегрируя последнее равенство, получим формулу (1.12)
Формулу (1.12) называют формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле.
Поскольку , то формулу (1.12) можно записать в следующем виде
(1.13)
Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла . В ряде конкретных случаев последний интеграл вычисляется без труда.
Большую часть интегралов, берущихся по частям, можно разбить на три основных группы:
IК первой группе относятся интегралы от функций, содержащих в качестве множителя одну из следующих функций:
Для вычисления интегралов этой группы следует применить формулу (1.12), положив в ней равной одной из указанных функций
Примеры 1.17.
Положим
Тогда
II Ко второй группе относятся интегралы вида
где - некоторые числа, - любое натуральное число.
Интегралы этой группы вычисляются путём применения формулы (1.12) раз. В качестве берётся функция .
Пример 1.18.
III К третьей группе относятся интегралы вида
.
Пример 1.19.
Для вычисления интеграла снова применим формулу (1.13): положим тогда
Таким образом, в результате двукратного интегрирования по частям для данного интегралаI получим уравнение