Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Проблема нахождения первообразной



 

Теорема существования первообразной (теорема 1.2) утверждает только

факт существования первообразной у любой непрерывной функции. Доказательство теоремы существования не решает проблему нахождения первообразной конкретной функции. Решение этой проблемы в большей части случаев не является простым.

Найти производную элементарной функции обычно значительно легче, чем найти её первообразную. Задача интегрирования существенно сложнее задачи дифференцирования. Более того, может оказаться так, что первообразная элементарной функции не является элементарной.

Пример 1.6. Производная функции находится с помощью табличной формулы :

Метод нахождения первообразной функции - метод замены переменной – требует специального изучения (пп.1.16– 1.18).

 

Пример 1.7. Производная функции находится по правилу . Для нахождения первообразной используется так называемый метод интегрирования по частям (п.1.18).

Пример 1.8.Производная функции находится по формуле Первообразная данной функции не является элементарной функцией (п.1.11).

 

1.10 Табличные интегралы

 

Интегралы от основных элементарных функций называют табличными.

 

1. ; 2. ; 3.

 

3. 4.

 

5.

 

6.

 

7. 8.

 

9. 10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

 

Неберущиеся интегралы

 

Из основных правил дифференцирования следует, чтопроизводная элементарной функции всегда являются элементарной функцией.

Существенно, что операция интегрирования таким свойством не обладает:

 
 
Первообразная элементарной функции не всегда является элементарной функцией.  

 

 


Пример 1.9. Рассмотрим функцию . Её график изображён на рис. 1.4.

Эта функция непрерывна на всей числовой прямой. Поэтому она имеет первообразную функцию, определённую тоже на всей числовой прямой. Однако эта первообразная не является элементарной функцией.

 

  - «неберущийся» интеграл  

Рис.1.4.

 

На рисунке 1.5 изображена функция - та первообразная функции , график которой проходит через начало координат.

Функция не является элементарной. Однако её значения известны во всех точках числовой оси. Отметим, что «неберущимися» являются также интегралы и многие другие. Однако первообразные функций , хорошо изучены – не менее подробно, чем синус или логарифм – это функции принципиально новой, неэлементарной природы

Рис. 1.5.

 

Умение выражать первообразные элементарных функций через элементарные (в тех случаях, когда это возможно) или, как принято говорить, умение «брать интегралы» - своего рода искусство. Овладеть им можно изучив некоторые методы интегрирования, а затем взяв большое количество интегралов.

Однако значение этого искусства (при всей его важности) не следует преувеличивать. Очень часто в теории и приложениях приходится иметь дело именно с «неберущимися» интегралами. В математическом анализе имеются надёжные средства их исследования и вычисления .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.