І. Маса області. В попередніх параграфах було показано, що маса неоднорідної області , в кожній площі якої визначена густина розподілу маси , знаходяться за формулою
. (1)
Якщо ж задана на всій площині і є щільністю розподілу ймовірностей, то за формулою (1) обчислюється ймовірність попадання випадкової точки в область .
ІІ. Обчислення площ плоских областей. Покладемо в (1) , тоді маса чисельно дорівнює площі області . Отже
(2)
формула площі області в прямокутних координатах, а в полярних координатах
. (3)
ІІІ. Обчислення об’єму тіла за допомогою подвійного інтеграла.Тіло, яке обмежене зверху поверхнею , знизу – областю площини , а збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої проходять через границю області паралельно осі і перетинають поверхню , називається вертикальним циліндричним тілом(див. рис. 1)
Об’єм вертикального циліндричного тіла знаходиться за формулою
. (4)
Задача. Обчислити об’єм тіла, обмеженого двома поверхнями і .
Рис 1.
Розв’язання. Перша з поверхонь – параболоїд обертання навколо осі з вершиною в точці , напрямлений вниз, друга поверхня – конус обертання навколо з вершиною в точці , напрямлений – вверх.
Їх лінії перетину знаходимо із системи:
- не підходить. Якщо , то, наприклад, друге рівняння запишеться
.
Отже обидві поверхні перетинаються по колу , яке знаходиться на площині , перпендикулярній (див. рис. 2).
Рис. 2.
Шуканий об’єм тіла дорівнює різниці об’ємів двох циліндричних тіл і . Основа обох циліндрів – круг радіуса з центром в на площині . Перше циліндричне тіло обмежене зверху параболоїдом, друге – конусом. Отже,
.
Далі обчислимо в полярних координатах:
.
IV.Обчислення статичних моментів, координат центра мас та моментів інерції областей. Статичні моменти і знаходяться за формулами
, . (5)
Зауважимо, що за подібними формулами з теорії імовірностей знаходяться так звані математичні сподівання двовимірних випадкових величин.
Координати центра маси плоскої області знаходяться за такими формулами
, , (6)
де - маса області.
Моменти інерції і відносно координатних осей і і момент інерції відносно початку координат знаходяться відповідно за формулами
, , (7)
. (8)
Задачі
Знайти площі плоских областей, обмежених даними лініями
1. .
2. . 3. .
4. 5. .
6. . 7. .
8. . 9. .
10. .
11. .
Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. .
Обчислити об’єми тіл, обмежених даними лініями.
12. .
13. .
14. та координатними площинами.
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
Відповіді: 12. . 13. . 14. . 15. . 16. .
17. . 18. . 19. .
20. Знайти координати центра маси платівки, обмеженої параболою і прямою , якщо густина розподілу маси в кожній точці дорівнює ординаті точки.
21. Знайти центр мас однорідної платівки , обмеженої лініями та .
22. Знайти центр мас однорідної платівки обмеженої параболами .
23. Знайти центр мас плоскої однорідної фігури, обмеженої лініями
.
24. Обчислити момент інерції однорідного квадрата
відносно початку координат.
25.Обчислити момент інерції однорідної фігури, обмеженої