Основні властивості подвійних інтегралів

1 . Подвійнійний інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі подвійних інтегралів від кожної з цих функцій:

.

2 . Сталий множник виноситься за знак подвійного інтеграла:

3 . Якщо область можна розбити на дві частини і так, що вони не мають спільних внутрішніх точок , то

Властивість 3 зрозуміла з рисунка 3.

Рис 3.

Обчислення подвійних інтегралів в прямокутних координатах

Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних координатах по заданій області зводиться до обчислення так званих повторних інтегралів шляхом проектування області на одну із осей або .

Область на площині називається простою відносно осі , тобто проектується в деякий відрізок осі так, що всяка пряма паралельна осі , перетинає границю області у двох точках. (див. рис. 4).

Рис. 4.

Перехід до повторного інтеграла пояснимо на задачі обчислення маси неоднорідної області.

Нехай область обмежена двома лініями і , які перетинаються в точках і . Відрізок є проекцією області на вісь . У кожній точці області визначена функція - густина розподілу маси. Знайти масу області .

Зафіксуємо точку , яка належить прямокутнику із настільки малими сторонами і , що значення густини в точці мало змінюється в межах цього прямокутника, тому маса цього прямокутника приблизно дорівнює

.

Далі, розглянемо паралельну осі смужку шириною , яка містить згаданий прямокутник. Маса смужки буде дорівнювати

.

Щоб знайти масу всієї області , необхідно проінтегрувати останній вираз по змінній , тоді

. (1)

Порядок інтегрування можна змінити, якщо область спроектувати на вісь (див. рис. 5), при цьому вважаємо, що область правидьна відносно осі . Нехай відрізок буде проекцією області на , область обмежена кривими і , які задаються відповідно рівняннями і .

Рис. 5.

Аналогічно попереднього випадку,

.

- маса елемента площею . Масу смужки паралельної осі , отримаємо інтегруванням по змінній :

.

Інтегруючи останній вираз по , отримаємо масу всієї області , тобто

. (2)

Перехід від повторного інтеграла, що в правій частині (1), до повторного інтеграла в (2) називається зміною порядка інтегрування. На практиці з двох порядків (двох формул (1) чи (2)) вибирають такий, який вимагає менших обчислень.

Приклади. Знайти інтеграли

1. .

Розв’язання.

.

2. , де область D обмежена лініями , . Обчислення здійснити в одному і другому порядках.

Розв’язання.

Побудуємо область D (Рис.6).

З рисунка видно, що , а .

Тому отримуємо:

Рис. 6.

.

Змінимо порядок інтегрування, спроектувавши область D на вісь : , .

Тоді

3. . З двох порядків інтегрування вибрати зручніший і обчислити.

Розв’язанняПобудуємо границю області (див. рис. 7)

Рис. 7.

1) Спроектуємо область на вісь . Оскільки лінія складається з двох ланок: дуги і відрізка , які перетинаються в точці , то область розбивається на дві: і .

Тоді

.

Отже, тут прийдеться обчислити два повторні інтеграли.

2) Спроектуємо область на вісь : . Тоді

.

За другим способом ми обчислювали тільки один повторний інтеграл.

З а д а ч і.

Обчислити повторні інтеграли.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .

Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

Поиск по сайту: