Розділити чисельник на знаменник у випадку неправильного дробу (m³n). В результаті отримаємо цілу частину – многочлен степеня (m–n), який інтегрується легко, а також правильний дріб.
1) Розкладаємо правильний дріб на прості дроби у вигляді розкладу (1) в 1.8, коефіцієнти якого знаходимо за методом невизначених коефіцієнтів.
2) Інтегруємо кожний з простих дробів, як це показано в 1.6 і 1.7.
Приклад.
Розв’язання. Правильний дріб, що під знаком інтеграла розбиваємо на прості (див. теорему в 1.8).
де в даній тотожності A, B, C, D – невідомі коефіцієнти, знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів. Для цього домножимо обидві частини тотожності (1) на спільний знаменник: (х–1)(х+1)(х2+4). Після скорочення маємо нову тотожність
Коефіцієнти А і В можна знайти досить простим способом, поклавши в (2) спочатку х =1, тоді
Аналогічно при х = –1 із (2) знаходимо
10 = В(–1–1)×5 Þ В = –1.
В області дійсних чисел х2+4 ¹0, отже застосований спосіб вже не підходить, тому для знаходження С і D розкриємо дужки в правій частині (2) і згрупуємо відносно степенів х. Отримаємо:
Відомо, що два многочлени тотожно рівні, якщо в них
збігаються коефіцієнти при однакових степенях х. Отже, при х3 в лівій частині 0, а в правій А+В+С і т.д. Отримаємо систему рівнянь:
– після додавання рівнянь I–IV.
Додамо рівняння ІІ і IV, тоді матимемо
10 = 5А–5В Þ 5В = 5 – 10 Þ В = –1.
З І-го рівняння: 0 = 1–1+С Þ С =0.
З ІІ-го рівняння: D = 6 – A +B = 6 –1–1 = 4.
Отже в розкладі (1) маємо А = 1, B = –1, C = 0, D = 4.
Зауважимо, що значення А і В ми підтвердили із системи рівнянь, хоча знайшли їх раніше з тотожності. На практиці комбінують обидва способи. Так в отриману систему ми могли б підставити відомі нам раніше А і В, а в системі досить було б обмежитись двома рівняннями, де входять С і D.
Таким чином, розклад (1) прийме вигляд:
Тепер легко знайти інтеграли:
Приклади. Знайти інтеграли.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Відповіді: 1. .
2. .
3. .
4.
5. 6. .
7. .
8. .
9. . 10. .
11. .
12. .
Поняття раціональної функції багатьох змінних
Означення 1. Сума добутків числових коефіцієнтів та натуральних степенів кількох змінних називається многочленомцих змінних.
Наприклад.
– многочлен 3-х змінних U,V,W.
Означення 2. Відношення двох многочленів кількох змінних називається раціональною функцією цих змінних.