Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Інтегрування раціональних дробів. Нехай дано де раціональний дріб.



 

Нехай дано де раціональний дріб.

Щоб проінтегрувати функцію R(x), необхідно:

Розділити чисельник на знаменник у випадку неправильного дробу (m³n). В результаті отримаємо цілу частину – многочлен степеня (m–n), який інтегрується легко, а також правильний дріб.

1) Розкладаємо правильний дріб на прості дроби у вигляді розкладу (1) в 1.8, коефіцієнти якого знаходимо за методом невизначених коефіцієнтів.

2) Інтегруємо кожний з простих дробів, як це показано в 1.6 і 1.7.

Приклад.

Розв’язання. Правильний дріб, що під знаком інтеграла розбиваємо на прості (див. теорему в 1.8).

де в даній тотожності A, B, C, D – невідомі коефіцієнти, знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів. Для цього домножимо обидві частини тотожності (1) на спільний знаменник: (х–1)(х+1)(х2+4). Після скорочення маємо нову тотожність

Коефіцієнти А і В можна знайти досить простим способом, поклавши в (2) спочатку х =1, тоді

Аналогічно при х = –1 із (2) знаходимо

10 = В(–1–1)×5 Þ В = –1.

В області дійсних чисел х2+4 ¹0, отже застосований спосіб вже не підходить, тому для знаходження С і D розкриємо дужки в правій частині (2) і згрупуємо відносно степенів х. Отримаємо:

Відомо, що два многочлени тотожно рівні, якщо в них

збігаються коефіцієнти при однакових степенях х. Отже, при х3 в лівій частині 0, а в правій А+В+С і т.д. Отримаємо систему рівнянь:

– після додавання рівнянь I–IV.

Додамо рівняння ІІ і IV, тоді матимемо

10 = 5А–5В Þ 5В = 5 – 10 Þ В = –1.

З І-го рівняння: 0 = 1–1+С Þ С =0.

З ІІ-го рівняння: D = 6 – A +B = 6 –1–1 = 4.

Отже в розкладі (1) маємо А = 1, B = –1, C = 0, D = 4.

Зауважимо, що значення А і В ми підтвердили із системи рівнянь, хоча знайшли їх раніше з тотожності. На практиці комбінують обидва способи. Так в отриману систему ми могли б підставити відомі нам раніше А і В, а в системі досить було б обмежитись двома рівняннями, де входять С і D.

Таким чином, розклад (1) прийме вигляд:

Тепер легко знайти інтеграли:

Приклади. Знайти інтеграли.

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.

Відповіді: 1. .

2. .

3. .

4.

5. 6. .

7. .

8. .

9. . 10. .

11. .

12. .

Поняття раціональної функції багатьох змінних

 

Означення 1. Сума добутків числових коефіцієнтів та натуральних степенів кількох змінних називається многочленомцих змінних.

Наприклад.

– многочлен 3-х змінних U,V,W.

Означення 2. Відношення двох многочленів кількох змінних називається раціональною функцією цих змінних.

Наприклад.

раціональна функція трьох змінних.

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.