Основні властивості невизначеного інтеграла

II. Інтегральне числення

Невизначений інтеграл

Означення невизначенного інтеграла

Означення 1.Функція F(x) називається первісною функцією для функції f(x) на інтервалі (a, b), якщо F(x) – диференційовна на (a, b) i F¢(x)=f(x). Так, наприклад, для функцій , , , первісними відповідно є функції , , , , оскільки , , , .

Теорема 1. Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на інтервалі (a, b), то F(x)+C – теж первісна, де С – довільна стала.

Теорема 2. Якщо F₁(x) i F₂(x) – дві первісні для f(x) на інтервалі (a, b), то F₁(x)–F₂(x)=С на (a, b), де С– деяка стала.

Означення 2.Довільна первісна для функції f(x) на інтервалі (a, b), називається невизначеним інтегралом і позначається символом

Якщо F(x) – одна із первісних функції f(x), то згідно означення

(1)

де символ - знак інтеграла, , - підінтегральна функція, - підінтегральний вираз, - довільна стала величина.

Процес знаходження первісної називається інтегруванням.

Згідно з (1) зв’язок між наведеними вище функціями

, , , і відповідними їм первісними можна записати у вигляді інтегралів:

; (1) ; (2)

; (3) . (4)

Зауваження. Інтеграли (1) – (4) входять до так званих основних табличних інтегралів.

Теорема 3. Якщо f(x) – неперервна на інтервалі (a, b), то для неї існує первісна, а, отже, і невизначений інтеграл.

Основні властивості невизначеного інтеграла

1°. .	2°. .
3°. .	4°. .

5°. .

6°. .

7°. Якщо , то

а) ;

б) .

Дамо формулювання наведених властивостей.

1 . Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

2 . Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

З точністю до сталого доданка виконуються подальші властивості.

3 . Інтеграл від похідної деякої функції дорівнює цій же функції плюс .

4 . Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс .

Отже, із властивостей 1 -4 видно, що операції інтегрування і диференціювання є взаємно оберненими.

5 . Сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

6 . Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.

Властивості 1 -7 перевіряються шляхом диференціювання. Покажемо спочатку для 1 і 2 .

Нехай - первісна для на деякому інтервалі, тоді згідно з (1) маємо

.

.

Зупинимось ще на властивості 5 . Знайдемо похідні від лівої і правої частини рівності:

;

.

Отже, вирази і є первісними для однієї і тієї ж функції , вони можуть відрізнятись на сталий доданок , що і виражає властивість 3 .

Решта властивостей перевіряються аналогічно.

Приклади. Знайти інтеграли.

=[власт.6 ]=

=

=[власт 5 ]=12 - =[за табл.. інтегр. (1)- (3)]= + = .

= =

.

=

=[за табл..

інт. (1), (4) і власт. 7 а) і б)]=

Таблиця основних невизначених інтегралів

Таблиця 1

.	. a – дійсне число
.	.

Таблиця 2

Це перетворення таблиці 1 за допомогою властивостей 7 а),б). (зберігаєтся нумерація таблиці 1)

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. . 16. .

Таблица 3

2. .

3. .

4.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12.

13. .

14. .

15. .

16. .

Поиск по сайту: