ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Обчислення площі плоских фігур

Якщо на відрізку функція неперервна і , то площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими , , , знаходять за формулою

.

+ +

0 a - b x

Відомо, що визначений інтеграл на відрізку представляє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x). Якщо графік розміщений нижче осі Ох, тобто f(x) < 0, тоді площа має знак “-“, якщо графік розміщений вище осі Ох, тобто f(x) > 0, тоді площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула

.

Якщо функція на відрізку скінчене число разів змінює знак, то

.

Площу фігури, обмеженої кривими і і прямими та за умови, що , знаходять за формулою

.

Коли криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично

, ,

прямими , і віссю , то її площа обчислюється за формулою

,

де , і на відрізку .

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою, заданою в полярній системі координат неперервною функцією і променями та ,

r = f(j)

b

О a

обчислюється за формулою

.

Приклад 1

Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x², x = 2.

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена по формулі:

(од²)

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

, .

Приклад 3

Знайти площу фігури, обмеженої параболами

, .

Приклад 4

Обчислитиплощу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди

,

і віссю абсцис.

Приклад 5

Знайти площу фігури, обмеженої колом і кардіоїдою (ззовні кардіоїди).

Користуючись вищенаведеним, обчислити площі фігур.

1. Обчислити площу фігур, обмежену лініями, рівняння яких i

2. Обчислити площу фігури обмежену параболами і .

3. Обчислити площу фігури обмежену параболами і .

4. Найти площу фігур, на які парабола ділить окружність

5. Окружність розбивається гіперболою на три частини. Знайти площу цих частин.

6. Обчислити площу фігури, що знаходиться всередині між лінією і параболою .

7. Знайти площу фігури обмежену віссю координат і лінією .

8. Знайти площу петлі лінії

9. Знайти площу фігури, обмежену замкнутою лінією

10. Знайти площу кінцевої частини фігури, обмеженої лініями i

11. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і

12. Обчислити площу криволінійного трикутника, обмеженого віссю ординат і лініями , .

13. Обчислити площу фігури, обмеженою астроїдою , .

14. Знайти площу петлі лінії

1) , ;

2) ,

15. Знайти площу фігури обмеженої лінією

16. Знайти площу частини фігури, обмеженої лінією , яка лежить за межами лінії .

В наступних задачах зручно перейти попередньо до полярних координат.

17. Знайти площу фігури, обмеженою лемніскатою Бернуллі

18. Знайти площу фігури, обмеженої лінією

19. Знайти площу фігури, яка знаходиться між лінією і її асимптотою.

20. Для лінії знайти площу петлі і площу фігури, яка знаходиться між лінією і її асимптотою.

1. Обчислення об’єму тіла

Об’єм тіла виражається за допомогою інтеграла

,

де - площа перетину тіла площиною, перпендикулярної до осі в точці з абсцисою , і - ліва і права границі зміни . Функція допускається відомою і такою, що неперервно змінюється при зміні від до .

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої кривою , віссю абсцис і прямими і ,

y = f(x)

x

виражається інтегралом

.

Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції і прямими , , , то об’єм тіла, утвореного обертанням даної трапеції навколо осі , знаходять за формулою

.

Об’єм тіла , утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої кривими і і прямими , , виражається через інтеграл

.

Якщо крива задана параметрично або в полярних координатах, тоді необхідно зробити відповідну заміну змінних у вказаних формулах.

Приклад 1

Знайти обєм кулі радіуса R.

y

R

у

-R 0 x R x

В поперечному перерізі кулі отримуємо кола змінного радіусу у. В залежності від поточної координати х цей радіус виражається по формулі .

Тоді функція площі перетинів має вид: Q(x) = .

Отримаємо обєм кулі:

.

Приклад 2

Знайти обєм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.

Q S

x H x

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, в перетині отримаємо фігури, подібні основі. Коефіцієнт подібності цих фігур рівний відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності в квадраті, тобто

Звідси отримаємо функцію площ перетинів:

Знайдемо об’єм піраміди:

Приклад 3

Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої віссю і параболою .

Приклад 4

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої пів кубічною параболою , віссю абсцис і прямою , навколо осі .

Приклад 5

Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , , .

Обчислити об’єми фігур, користуючись даними формулами.

1. Фігура, обмежена гіперболою і прямою , , обертається навколо осі абсциси. Найти об’єм тіла обертання.

2. Знайти об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис трапеції, що лежить на осі і обмеженої лінією .

3.Знайти об’єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженої параболою і віссю абсцис, навколо осі ординат.

4. Знайти об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лінією:

1) ; 2) .

5. Знайти об’єм тіла, отриманого при обертанні астроїди навколо своєї осі симетрії.

6. Лінія обертається навколо своєї асимптоти. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнею, яка виходить в результаті цього обертання.

7. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнею, яка виходить при обертанні тактриси , навколо її асимптоти.

8. Обчислити об’єм тіл, обмежених параболоїдом і еліпсоїдом

9. Знайти об’єм тіла, обмеженого параболоїдом і конусом .

1. Довжина дуги кривої

Якщо плоска крива задана рівнянням і похідна неперервна, тоді довжина дуги цієї кривої виражається через інтеграл:

,

де і - абсциси кінців даної дуги.

Якщо крива задана рівняннями в параметричній формі , і похідні , неперервні на відрізку , тоді довжина дуги кривої обчислюється за допомогою інтегралу

,

де і - значення параметра , що відповідають кінцям дуги ( .

Якщо гладка крива задана рівнянням в полярних координатах, тоді довжина дуги кривої виражається через наступний інтеграл:

,

де і - значення полярного кута на кінцях дуги ( .

Довжину дуги гладкої просторової кривої, заданої рівняннями

, ,

обчислюється за формулою

.

Приклад 1

Знайти довжину кола, заданого рівнянням x² + y² = r².

Спосіб

Виразимо з рівняння змінну у:

Знайдемо похідну

Тоді

Отже, S = 2pr. Отримали загальновідому формулу довжини кола.

Спосіб

Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, тоді отримаємо: r²cos²j + r²sin²j = r², тобто функція r = f(j) = r, тоді

.

Приклад 2

Знайти довжину кривої

від до .

Приклад 3

Знайти довжину дуги спіралі Архімеда , яка лежить усередині кола .

Приклад 4

Знайти довжину дуги кривої , , від до довільного .

Користуючись приведеними формулами, обчислити довжини наступних ліній.

1. Обчислити довжину дуги ланцюгової лінії (від до ).

2. Обчислити довжину дуги лінії (від до ).

3.Обчислити довжину дуги пів кубічної параболи , що знаходиться всередині параболи .

4.Обчислити довжину петлі лінії .

5.Обчислити довжину лінії .

6. Обчислити довжину лінії , .

7. Обчислити довжину дуги лінії (від ). , , від до .

8. Обчислити довжину петлі лінії , .

9. Обчислити довжину кардіоїди .

10. Знайти довжину лінії заданої рівнянням .

11. Обчислити довжину дуги лінії , від початку координат до найближчої точки с вертикальною дотичною.

1. Площа поверхні обертання

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги кривої ,

М_i B

А

x_i х

виражається інтегралом

,

який зручно записувати у формі , де - диференціал довжини дуги.

Якщо дуга задана параметричними рівняннями , ,

то площа поверхні обертання обчислюється за формулою

.

Приклад 1

Знайти площу поверхні тора, утвореного обертанням кола навколо осі абсцис.

Приклад 2

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди

навколо осі абсцис.

Для самостійного опрацювання матеріалу розв’язати наступні задачі.

1. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням астроїди навколо осі .

2.Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі замкнутого контура , утвореного кривими і .

3. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням частини кривої , відрізаної прямою , навколо осі .

4. Обчислити площу поверхні еліпсоїда, утвореного обертанням еліпса навколо осі .

5. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням еліпса навколо осі .

6.Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі петлі кривої .

7. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі кривої .

8. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням лемніскати навколо полярної осі.

Відповіді на приклади

Розділ 1

1. . 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16.

17. 18. 19.

20.

1. при 2. 3.

4. 5.

6.

7. 8.

9. 10.

11. 12. 13.

14.

1. 2.

3.

4.

5.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1. 2.

3. 4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11.

12. 13.

14. 15. 16. 17.

18.

19. 20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

1.

2.

3.

4. +C

5. , де u=

5. 6.

7. 8. 9.

10.

1. 2.

3. +C

4. 5. де

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 10.

11.

12.

13.

14. , для значень x які задовільняють нерівність , і , для значень x які задовільняють нерівність

15.

16.

17. . 18. . 19.

20. 21. .

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9. 10.

1. 2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. 13.

1. 2.

3. 4.

5.

6. 7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20.

21.

22.

23. .

24.

25.

26.

27. .

28. . 29.

30. , де , якщо , де якщо

31.

32.

33.

34. .

35. +

36.

37.

38.

Розділ 2

1.

2.

3.

4.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 2 8. 9. 10. 11. 12. 2

13. 14. -0.083… 15.

1. 7+2 ln 2 2. 3. . Покласти . 4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. . 10. .

11. - найбільше значення, найменше значення. 12. 13.

1. 2. 3. 1 4. 5. 6. 7. a)

8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

1. 0.6938

2. 1.2038

3. а) 0.601

б) 0.7462

4. 0.96

1. 2. Розходиться 3. 4. 5. 6. 7. Розходиться 8. 2 9. 10. 11.

12. При 1 сходиться, при розходиться.

13. 1) При сходиться, при розходиться. 2) , якщо ; розходиться, якщо

14. 15. 16. 17. 18. 19. 0 20. 21. Інтегрувати по чястинам

22. 23. 24. Інтегрувати по чястинам 25. 26.

27. 28. 29. 30. Сходиться.

31. Розбігається. 32. Сходиться. 33. Розбігається.

34. Сходиться. 35.Розбігається. 36. Сходиться. 37. .

38. 8/3. 39. 1. 40. 2. 41. . 42. . 43. 10/7

44. 45. Розходиться. 46. Сходиться.

47. Сходиться. 48. Розходиться.

Розділ 3

1. 2. 3. 4.

5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Поиск по сайту: