Нехай функція визначена на проміжку та інтегрована на будь-якому відрізку , де . Тоді, якщо існує скінчена границя , її називають невласним інтегралом першого роду і позначають . Таким чином, за означенням
.
У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а підінтегральну функцію - інтегрованою на проміжку . Якщо ж границя не існує або нескінченна, то інтеграл називається також невласним, але розбіжним.
Аналогічно визначається невласний інтеграл на проміжку :
,
а також
,
де - довільне дійсне число.
Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду
Ознака порівняння
Якщо на проміжку функції і неперервні та задовольняють умову , то із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності інтеграла випливає розбіжність інтеграла .
Гранична ознака порівняння
Якщо існує границя
, , , ,
то інтеграли і або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.
3, Абсолютна збіжність
Якщо інтеграл збігається, то збіжним є і інтеграл , причому в цьому випадку він називається абсолютно збіжним.
.
Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду)
Нехай функція визначена на проміжку . Точку назвемо особливою точкою функції , якщо при . Нехай функція інтегрована на відрізку при довільному такому, що . Тоді, якщо існує скінчена границя
,
то її називають невласним інтегралом другого родуі позначають . Отже, за визначенням
.
У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує, або збігається. Якщо границя нескінченна або не існує, то інтеграл також називають невласним інтегралом, але розбіжним.
Аналогічно, якщо - особлива точка, то
.
Якщо необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки , то
.
Ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду аналогічні подібним ознакам для невласних інтегралів першого роду.
Обчислити значення невласних інтегралів першого роду або встановити їх розбіжність.
Приклад 1
- не існує.
Невласний інтеграл разбіжний.
Приклад 2
-
інтеграл збіжний.
Приклад 3
Перейдемо до границі
Виділимо повний квадрат в знаменнику
.
Отримаємо
Зробимо заміну
; ;
.
В результаті матимемо
Понизимо порядок косинуса за формулою :
Зробимо зворотну заміну .
Враховуючи на поведінку функції на нескінченостях, остаточно отримаємо
.
Тобто даний невласний інтеграл збіжний.
Приклад 4
Так як верхня межа є , введемо змінну , і отримаємо
Проведемо деякі перетворення:
Згідно правил інтегрування, матимемо
Підставляючи межі
та переходячи до границі, остаточно отримаємо
.
Отже, даний інтеграл збіжний.
Приклад 5
Проінтегруємо частинами, покладаючи , , , переходячи до границі і вводячи наступні позначення
І остаточно отримаємо
.
Отже, наш інтеграл збіжний.
Обчислити інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду) або встановити їх розбіжність.
Приклад 1
Підінтегральна функція має нескінчений розрив в точці , яка належить проміжку інтегрування. Тому перейдемо до границі при ,
Тепер, так як підінтегральна функція є неперервна, проведемо інтегрування за формулою Ньютона-Лейбніца.
І остаточно
Даний інтеграл розбіжний.
Приклад 2
Розкладемо знаменник на прості множники:
Як бачимо, в точці , яка належить проміжку інтегрування, знаменник перетворюється в нуль і підінтегральна функція має нескінченний розрив. Перейдемо до границі при , , розбивши проміжок інтегрування на дві частини.
Розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби, скориставшись методом невизначених коефіцієнтів:
І остаточно
.
Приклад 3
Проведемо деякі перетворення даного інтеграла і перейдемо до границі при , , так як при маємо розрив.
Зробимо заміну . Отримаємо
Проінтегруємо частинами
І остаточно
,
тобто даний інтеграл розбіжний.
Приклад 4
Як бачимо, підінтегральний вираз має розриви в точках та . Перейдемо до границі при , .
Зробимо заміну
, , .
В результаті отримаємо
Понизивши порядок синуса та використавши таблицю інтегралів отримаємо
Зробивши зворотну заміну , матимемо
Переходячи до границі в дужках отримаємо
І остаточно
.
Тобто, наш інтеграл є збіжний.
Інтеграли з безкінечними межами (інтеграли першого роду)
В даних задачах визначити не власні інтеграли (або дослідити їх на збіжність)
1. 2.
3. , 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11.
Різні задачі
12.При яких значеннях k інтеграл
буде збіжним?
13.При яких значеннях k збігаються інтеграли
1) 2) ?
Вирахувати не збіжні інтеграли
14.
15.
16. (n-ціле додатне число)
17. (n-ціле додатне число)
18. (n-ціле додатне число)
19.Вирахувати інтеграл
В наступних задачах обчислити інтеграли, користуючись формулами
(інтеграл Пуассона)
(інтеграл Діріхлє).
20. 21.
22. 23.
24. 25.
Обчислити інтеграл
26. 27.
28. 29.
В даних задачах дослідити на збіжність наступні інтеграли
30. 31.
32. 33.
34. 35.
36.
Інтеграли функцій з нескінченними розривами.
Обчислити невласні інтеграли (або встановити їх збіжність)