Властивості визначеного інтеграла. 1. Якщо всюди на відрізку маємо , то

1. Якщо всюди на відрізку маємо , то

.

2. Якщо всюди на відрізку маємо , то

(монотонність визначеного інтеграла).

3. Якщо функція інтегрована на відрізку , то

.

4. Якщо і - відповідно найбільше і найменше значення функції на відрізку , то

(оцінка інтеграла по області).

5. Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку знайдеться така точка , що

(теорема про середнє значення функції). Число

називається середнім значенням функції на відрізку .

6. Якщо функція неперервна на відрізку , то інтеграл із змінною верхньою межею

є первісною для функції , тобто похідна визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі:

.

7. Якщо функції і диференційовані в точці і неперервна при , то

.

Виходячи з означення визначеного інтеграла і розбиваючи проміжок інтегрування на рівних частин, обчислити наступні інтеграли.

Приклад 1

Розіб’ємо проміжок на рівних частин, тобто отримаємо крок розбиття , і замінимо інтеграл, згідно означення, інтегральною сумою

де , тобто отримаємо

По формулі суми арифметичної прогресії

,

.

Приклад 2

Розіб’ємо проміжок на рівних частин, тобто отримаємо крок розбиття , і замінимо інтеграл, згідно означення, інтегральною сумою

Враховуючи, що , отримаємо

.

Приклад 3

Розбиваючи проміжок інтегрування на частин так, щоб абсциси точок поділу утворювали геометричну прогресію, обчислити інтеграл

.

Користуючись викладеним вище обчислити наступні інтеграли.

1.Обчислити, виходячи з визначення, інтеграл

.

2.Користуючись визначенням, обчислити інтеграл

.

3.Обчислити, виходячи з визначення, інтеграл

.

4.З допомогою граничного переходу від інтегральних сум обчислити інтеграл

,

розбиваючи відрізок

а) на рівні частини;

б) точками, що утворюють геометричну прогресію, причому в кожному з розбиттів в якості вибирати

1) ліві кінці відрізків,

2) праві кінці відрізків,

3) середини відрізків .

1. Обчислення визначеного інтеграла по формулі Ньютона-Лейбніца

Якщо є якою-небудь первісною від неперервної функції , , , то справедлива формула Ньютона-Лейбніца

.

Користуючись формулою Ньютона-Лейбніца та правилами інтегрування, викладеними в розділі 1, обчислити наступні інтеграли.

Приклад 1

Згідно правил інтегрування, викладених в п.1, 2, отримаємо

.

Приклад 2

Провівши деякі перетворення та використовуючи інваріантність диференціала отримаємо

При зміні місцями меж інтегрування, перед інтегралом з’явиться знак «-», тобто

.

Приклад 3

Внісши із знаменника під диференціал та застосовуючи інваріантність диференціала, отримаємо

.

Приклад 4

Аналогічно попередньому, вносячи під диференціал та використовуючи правила інтегрування, отримаємо

.

Приклад 5

Розкладемо підінтегральний вираз на прості дроби:

,

і далі, наш інтеграл набуде вигляду

.

Обчислити наступні інтеграли.

1. 2.

3.

4. 5.

6.

7. 8.

9.

10. 11.

12.

13. 14.

15.

Заміна змінної

Якщо функція неперервна на відрізку , а функція і її похідна неперервні на відрізку , причому , , то справджується рівність

.

Приклад 1

При заміні змінної у визначеному інтегралі варто пам’ятати про те, що функція, яка вводиться, (в даному випадку це функція sin) повинна бути неперервною на відрізку інтегрування. В іншому випадку, формальне застосування формули приводить до абсурду.

Приклад 2

Якщо обчислити наступний інтеграл, отримаємо

.

З іншого боку, якщо застосувати тригонометричну підстановку,

Тобто, два способи обчислення інтеграла дають різні результати. Це відбувається тому, що не був врахований той факт, що введена змінна tgx має на відрізку інтегрування розрив (в точці х = p/2). Тому в даному випадку таку підстановку застосовувати неможливо. При заміні змінної у визначеному інтегралі потрібно уважно слідкувати за виконанням перерахованих вище умов.

Приклад 3

Провівши заміну, обчислити інтеграл

Введемо наступну заміну . Тоді

, , .

Проведемо перерахунок меж інтегрування

;

.

Отримаємо наступний інтеграл:

Як видно, підінтегральний вираз на всьому проміжку інтегрування немає розривів, тобто заміна має місце.

.

Приклад 4

Обчислити наступний інтеграл

Введемо наступну заміну:

, , , .

Проведемо перерахунок меж інтегрування:

;

.

Провівши деякі перетворення, отримаємо

.

Приклад 5

Провівши відповідну заміну, обчислити інтеграл

Перед проведенням заміни, зробимо деякі перетворення підінтегральної функції:

.

Проведемо наступну заміну:

, ,

.

Також зробимо перерахунок меж інтегрування

;

.

Отримаємо

.

Заміна змінної у визначеному інтегралі

1. 2.

3.

4. 5.

6.

7. 8.

9.Розв’язати рівняння

10. Розв’язати рівняння

11. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [-1, 1].

В даних задачах не обчислюючи інтегралів довести справедливість рівнянь

12.

13.

1. Інтегрування частинами

Якщо функції , та їхні похідні і неперервні на відрізку , то справедлива формула інтегрування частинами

.

Користуючись вищенаведеною формулою та методами інтегрування, наведеними в розд.1 обчислити наступні інтеграли.

Приклад 1

Згідно правила інтегрування частинами проведемо заміни

і застосуємо формулу інтегрування частинами

Підставивши межі, остаточно отримаємо

.

Приклад 2

Проведемо відповідні заміни

Застосувавши формулу інтегрування частинами, отримаємо

І, підставляючи межі, остаточно отримаємо

.

Приклад 3

Згідно правила інтегрування частинами проведемо заміни

По формулі інтегрування частинами матимемо:

.

Приклад 4

Проведемо відповідні заміни

Застосувавши формулу інтегрування частинами, отримаємо

І остаточно, підставивши межі, отримаємо

.

Приклад 5

Як ми знаємо з розд.1, щоб обчислити даний інтеграл, необхідно, проінтегрувавши його два рази по частинах, розв’язати рівняння відносно інтеграла. Проведемо першу заміну:

За формулою інтегрування частинами, отримаємо

Проінтегруємо частинами вдруге:

.

Перенесемо інтеграл вліво і розв’яжемо рівняння відносно інтеграла.

І остаточно

.

Застосовуючи формулу інтегрування частинами та використовуючи зразки прикладів, розв’язаних вище, розв’язати наступні задачі:

1. 2.

3.

4. 5.

6.

7. Скласти рекурентні формули для обчислення інтегралів і (n-ціле додатне число або нуль) та обчислити інтеграли:

a) ;

b) ;

c) .

8. Скласти рекурентну формулу та вирахувати інтеграл (n-ціле додатне число).

9. Доказати рекурентну формулу

,

(n-ціле додатне число) і вирахувати за її допомогою інтеграл

.

10. Доказати, що якщо , то (m-ціле достатнє число).

Різні задачі

11. Вирахувати середнє значення функції на відрізку [1;4].

12. Вирахувати середнє значення функції на відрізку [1;1,5].

13. Вирахувати середнє значення функції і і на відрізку .

14. Знайти середнє значення функції на відрізку [0;2].

Обчислити інтеграли:

15. 16.

17.

18. 19.

20.

21.

22. 23.

1. Наближене обчислення визначених інтегралів

Формула прямокутників

y

M

m

0 a x_i b х

Якщо відомі значення функції f(x) в деяких точках x₀, x₁, … , x_m, тоді за функцію, «близьку» до f(x), можна взяти многочлен Р(х) степені не вище m, значення якого у вибраних точках дорівнюють значенням функції f(x) в цих точках.

Якщо розбити відрізок інтегрування на n рівних частин , тоді отримаємо:

y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …. , y_n = f(x_n).

Утворимо суми:

y₀Dx + y₁Dx + … + y_n-1Dx

y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx

Це, відповідно, нижня і верхня інтегральні суми. Перша відповідає вписаній ломаній, друга – описаній. Тоді

,

або

-

Будь-яка з цих формул може використовуватись для наближеного обчислення визначеного інтеграла і називається формулою прямокутників.

В загальному випадку, можна записати наступне

,

де

, .

Формула трапецій

Ця формула є більш точною в порівнянні з формулою прямокутників. Підінтегральну функцію в цьому випадку заміняємо на вписану ломану.

у

y₁ у₂ у_n

a x₁ x₂ b x

Геометрично площа криволінійної трапеції заміняється сумою площ вписаних трапецій. Очевидно, що чим більше взяти точок розбиття інтервалу, з тим більшою точністю буде обчислений інтеграл.

Площі вписаних трапецій обчислюються по формулах:

Після приведення схожих доданків, отримаємо формулу трапецій:

,

де

, .

Формула Сімпсона

Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на парну кількість відрізків (2m). Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) замінимо на площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою другої степені з віссю симетрії, паралельної осі Оу, що проходить через точки кривої із значеннями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для кожної пари відрізків побудуємо таку параболу:

у

0 х₀ х₁ х₂ х₃ х₄ х

Рівняння цих парабол мають вид Ax² + Bx + C, де коефіцієнти А, В, С можна легко знайти по трьох точках перетину параболи з вихідною кривою.

Позначимо .

Якщо прийняти х₀ = -h, x₁ = 0, x₂ = h, тоді .

Тоді рівняння значень функції мають вигляд:

Із врахуванням цього: .

Тоді обчислення будемо проводити за формулою

Тоді

Додавши ці вирази, отримаємо формулу Сімпсона:

Чим більше взяти число , тим точніше значення інтеграла буде отримано.

І в скороченому виді

,

де

, .

Формула Тейлора.

Крім вище перерахованих способів, можна обчислити значення визначеного інтеграла за допомогою розкладу підінтегральної функції в степеневий ряд.

Принцип цього методу полягає в тому, щоб замінити підінтегральну функцію по формулі Тейлора і почленно проінтегрувати отриману суму.

Приклад 1

З точністю до 0,001 обчислити інтеграл

Так як інтегрування проводиться в околі точки х=0, тоді можливо скористатись для розкладу підінтегральної функції формулою Маклорена.

Розклад функції cosx має вид:

Знаючи розклад функції cosх легко знайти функцію 1 – cosx:

В цій формулі сумування проводиться по п від 1 до нескінченності, а в попередній – від 0 до нескінченності. Це – не помилка, так виходить в результаті перетворення.

Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.

Тепер представимо наш інтеграл у вигляді:

Отже,

І остаточно отримаємо

Як бачимо, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже в третьому члені розкладу.

Для довідки: Точне (або – більш точне) значення цього інтегралу:

0,2482725418…

Приклад 2

Обчислити наближене значення визначеного інтегралу

за допомогою формули Сімпсона, разбивши відрізок інтегруровання на 10 частин.

По формулі Сімпсона отримаємо:

Точне значення цього інтеграла – 91.173.

Як бачимо, навіть при достатньо великому кроці розбиття точність отриманого результату цілком задовільна.

Для порівняння, застосуємо до цієї ж задачі формулу трапецій:

Формула трапецій дала менш точний результат в порівнянні з формулою Сімпсона.

1.Обчислити наближено інтеграл по формулі трапецій при .

2.Обчислити по формулі Сімпсона інтеграл з точністю до .

3.Обчислити інтеграли:

а) з точністю до по формулі Сімпсона;

б) з точністю до по формулі трапецій.

4. По формулі Сімпсона обчислити наближене значення інтеграла

,

якщо підінтегральна функція задана наступною таблицею:

	1.05	1.10	1.15	1.20	1.25	1.30	1.35
	2.36	2.50	2.74	3.04	3.46	3.98	4.6

1. Невласні інтеграли

Поиск по сайту: