Властивості визначеного інтеграла

Підсумовування нескінченно малих

Нехай задано неперерву функцію на відрізку [a; b] і F(x) —будь-яка її первісна. Розіб’ємо відрізок [a; b] на n частин і утворимо різницю

F(b) – F(a) (1)

значень первісної на його кінцях.

Різниця (1) дорівнює сумі таких самих різниць, складених для відрізків, на які розбито даний:

(2)

Рис. 2.1

За теоремою Лагранжа про скінченний приріст маємо:

F(х_і) – F(х_{і – 1}) = (х_і – х_{і – 1})F¢(x_{i – 1}),

де x_i Î [х_і; х_і–1] (рис. 2.1).

Позначивши х_і – х_і–1 = D х_і–1 і врахувавши, що

F¢(x_i–1) = f(x_i–1),

рівність (2) подамо так:

F(b) – F(a) = f(x₀)Dх₀ + f(x₁)Dх₁ + … + f(x_n–1)Dх_{n – 1}. (3)

Залежність (3) справджується лише для значень x₀, x₁, … x_n, які задовольняють теорему Лагранжа. Але коли необмежено збільшувати кількість n частин відрізка [a; b] так, щоб довжина відрізка Dх_{і – 1} прямувала до нуля, то рівність (3) виконуватиметься і різниця F(b) – F(a) буде сумою нескінченної кількості спадних доданків:

(4)

Рівність (3) справджується не лише за певного, а й за будь-якого вибору точок x₀, x₁, … x_n–1, тому (4) є формулою суми нескінченно малих,яку вивели Лейбніц і Ньютон.

55. Поняття визначеного інтеграла.
Перший підхід

Означення. Сума

називається інтегральною сумою, або сумою Рімана.

Означення. Скінченна границя І суми s при називається визначеним інтеграломвід функції f(x) на відрізку
[a; b] і позначається

(5)

де а, b — відповідно нижня та верхня межі інтегрування, ò — знак інтеграла, введений Лейбніцем. (Лейбніц увів знак інтеграла ò як витягнуту букву S, що позначає підсумовування.) У разі існування границі І функція f(x) називається інтегровною на про-
міжку[a; b].

Вводячи поняття про визначений інтеграл як границю інтегральної суми й застосовуючи його позначення та формулу (5), рів­ність (4) можна переписати у вигляді:

(6)

Це відома формула Ньютона—Лейбніца, яка поєднує диференціальне числення з інтегральним.

В інтегралі символ х позначає змінну інтегрування. Цю змінну можна позначати будь-якою іншою буквою, а отже, завжди маємо:

Зауважимо, що означення визначеного інтеграла можна застосувати лише до обмеженої функції.

Теорема 2.7. (Необхідна умова інтегрування.) Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.

Властивості визначеного інтеграла

Властивість 1.Визначений інтеграл є міра площі.

Властивість 2. При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, не змінюючи абсолютної величини.

Наслідок.

Властивість 3. (Поділ відрізка інтегрування.) Нехай точка c Î [а; b]. Тоді

(10)

Властивість 4. (Знак визначеного інтеграла.)

1. Якщо f(x) > 0 для х Î (а; b), a < b, то

2. Якщо f(x) < 0 для х Î (а, b), a < b, то

Властивість 5.Якщо j(х) > y(х) для х Î (a; b), a < b, то справджується рівність:

Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:

(11)

Властивість 7.Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

(12)

Властивість 8.Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то

(13)

Поиск по сайту: