Визначений інтеграл і його геометричний зміст

1. Площа криволінійної трапеції.

Раніше вже було відомо як обчислювати площі прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, довільного многокутника, а також площі круга та його частин.

У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.

Тепер, використовуючи знання про первісну функції, можна знаходити площі фігур, які називаються криволінійними трапеціями.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції , яка не змінює знак на відрізку , прямими , і відрізком .

Нехай треба обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної функції ,яка приймає додатні значення, з боків відрізками прямих , , знизу відрізком ,який лежить на осі ОХ.

Розіб’ємо відрізок на рівних частин й позначимо абсциси точок поділу через , , : < < <…< < . На кожному із цих відрізків побудуємо прямокутники, як показано на рисунку. Висота прямокутника, побудованого на відрізку , дорівнює і т.д.; висота прямокутника, побудованого на відрізку дорівнює .

Довжина основи кожного прямокутника дорівнює .

Слід зазначити, що .

Об’єднання всіх прямокутників є східчаста фігура. Позначимо її площу через , тоді

.

Якщо , то і, оскільки функція неперервна, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криволінійної трапеції. А тому площа криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від , тобто . При досить великих ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Природно вважати, що при цьому буде наближатися до числа, яке й приймемо за значення площі криволінійної трапеції.

Отже, .

1. Задача про знаходження шляху, пройденого тілом.

Математика вивчає різні зв’язки між величинами. Важливі приклади таких зв’язків дає механічний рух. Ми вже багато разів верталися до прикладу руху матеріальної точки по осі. Між положенням (координатою) точки і її швидкістю існує зв'язок: .

Почнемо знову із задачі про механічний рух. Нехай точка рухається з постійною швидкістю . Графіком швидкості в системі координат буде пряма , паралельна осі часу . Якщо вважати, що в початковий момент часу точка знаходилася в початку координат, то шлях її , пройдений за час обчислюється за формулою . Величина являє собою площу прямокутника, обмеженого графіком швидкості, віссю і двома вертикальними прямими, тобто шлях точки можна обчислити як площу криволінійної трапеції.

Звернемося до випадку нерівномірного руху. Тепер швидкість можна вважати постійною тільки на маленькому проміжку часу.

Розіб’ємо проміжок часу на рівних частин

< < <…< < ,

.

Шлях, пройдений тілом за проміжок часу , де приблизно дорівнює добутку , а шлях, пройдений тілом за проміжок часу , приблизно дорівнює .

Якщо , то , і тоді шлях, пройдений тілом за проміжок часу , який позначимо через , дорівнює .

Отже, .

1. Поняття визначеного інтеграла.

Обидві задачі ,які були розглянуті, розв’язувалися одним і тим самим методом , яким розв’язують багато інших задач (знаходження змінної сили, знаходження маси неоднорідного стержня і т.д.). Узагальнюючи даний метод, розглянемо неперервну функцію невід’ємну на відрізку .

Розіб’ємо відрізок на рівних частин < < <…< < , довжина кожної частини дорівнює .

Утворимо суму добутків , де , яка називається інтегральною сумою: .

Знайдемо .

За означенням цю границю називають інтегралом функції від а до b і позначають (читають так: «інтеграл від а до b еф від ікс де ікс»).

У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву S – першу букву від слова summa (сума). Підінтегральний вираз нагадує вигляд кожного окремого доданка інтегральної суми. Множник в математиці називають диференціалом. Число називається нижньою межею інтегрування, а число - верхньою межею інтегрування. Таким чином, .

Отже, , якщо для всіх , являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: , , , .

Поиск по сайту: