Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Декартова система координат



 

Якщо криву задано рівняннями , де є неперервними функціями на відрізку , то довжина дуги цієї кривої, що міститься між прямими обчислюється за формулою (4.9)

 

Рис. 17

 

 

Приклад 4.9. Знайти довжину дуги кривої від точки А(1;2) до точки В (4;4).

Розв’язання.Рівняння кривої задано у декартовій системі координат. Функція є визначеною і неперервною разом із своєю похідною на відрізку . Тому можна застосувати формулу (4.9).

 

Рис. 18

 

Складемо вираз =

 

Приклад 4.10. Знайти довжину дуги кривої від точки з абсцисою до точки з абсцисою .

Розв’язання

 

 

Рис. 19

 

Знайдемо похідну

Обчислимо вираз

 

Застосуємо формулу (4.9)

 

 

Параметричне задання кривої

 

Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі

 

 

де x(t), y(t) є неперервно диференційованими функціями на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює

 

(4.10)

 

де – значення параметра , що відповідають кінцям дуги .

 

Приклад 4.11.Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди

 

 

Розв’язання. Циклоїду (рис. 12) задано в параметричній формі, тому скористаємось формулою (4.10). Продиференцюємо по параметричні рівняння циклоїди

 

 

і обчислимо підинтегральну функцію:

 

 

Одна арка утворюється при зміні параметра від 0 до . Отже . Маємо

 

 

Приклад 4.12. Знайти довжину дуги кривої

 

.

 

Розв’язання. Продиференцюємо по t параметричні рівняння кривої:

 

 

і обчислимо підинтегральну функцію:

 

Отже

Задання кривої в полярній системі координат

 

Якщо криву задано рівнянням в полярній системі координат, де функція є неперервна диференційованою на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює

 

(4.11)

 

де є значеннями кута на кінцях дуги .

Приклад 4.13. Знайти довжину кардіоїди

Розв’язання. Побудуємо графік кривої, рівняння якої задано у полярних координатах. Зазначимо, що у разі заміни на рівняння не змінюється. Отже крива розташована симетрично відносно полярної осі. Якщо змінюється від 0 до , то спадає від 6 до 0. Складемо таблицю значень аргументна і функції :

 

 

 

Рис. 20

 

Для обчислення довжини дуги застосуємо формулу (4.11).

 

тому

Кардіоїда симетрична відносно полярної осі, тому знайдемо довжину її верхньої половини і помножимо на 2. Оскільки

Маємо

Приклад 4.14. Знайти довжину дуги кривої

 

 

Розв’язання.

Зауваження. Формули (4.9), (4.10)., (4.11) можна об’єднати в одну

 

 

де – диференціал дуги, причому

 

 

 

Обчислення об’ємів тіл обертання

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.