Параметричне задання кривої

Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою з пара­метричними рівняннями

де є неперервними функціями на відрізку , обчислюється за формулою

(4.7)

Межі інтегрування і знаходяться як корні рівнянь:

Приклад 4.5. Знайти площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди

Розв’язання: Першу арку циклоїди матимемо при зміні пара­метра t від 0 до . Складемо таблицю значень і :

t
x		0,16	1,14	3,3	6,28	9,26	11,42	12,40	12,56
y		0,59		3,41		3,41		0,59

За знайденими значеннями побудуємо криву

Рис. 12

Скористуємось формулою (4.7).

Приклад 4.6. Знайти площу фігури, обмеженої кривою

Розв’язання. Дослідимо криву. Оскільки , то криву розташовано симетрично відносно осі Ох.

Складемо таблицю значень t, x, y.

t	–2		–1
x	–3								–3
y									–6

При

При

Побудуємо криву за знайденими значеннями.

Рис. 13

Площа петлі одержаної кривої

Задання кривої в полярній системі координат

Площа криволінійного сектора (рис. 14), обмеженого дугою кривої , де – неперервна функція, а також відрізками променів у полярних координатах виражається формулою (4.8):

(4.8)

Рис. 14

Приклад 4.7. Знайти площу фігури, обмеженої лемніскатою Бернуллі: .

Розв’язання. Оскільки , то . Знайдемо ті зна­чення , для яких виконується ця нерівність.

.

При

при

при – зроблено повний зворот, і значення функції повторюються.

Отже

Складемо таблицю значень для ( як відстань від точки кривої до полюса):

			2,52	2,12

Побудуємо графік кривої, враховуючи симетрію відносно координатних осей (в силу парності та – періодичності функції ):

Рис. 15

Приклад 4.8. Знайти площу фігури, обмеженої чотири­пелюстковою розою

Розв’язання

Рис. 16

Знайдемо такі значення кута , за яких крива існує. Оскільки – це відстань від точки кривої до полюса, то . Тому

При:

– зроблено повний зворот, і значення функції повторюється.

Функція зростає, коли , і спадає, коли .

Функція має період . Тому крива у кожному з проміжков одержується з кривої, розташованої у зворотом на , відповідно. Виконаємо рисунок (рис. 16). Щоб знайти площу фігури, яка обмежена кривою, , достатньо обчислити площу пелюст­ка, розташованого в , а потім цей результат помножити на 4.

Обчислення довжин дуг кривих

Поиск по сайту: