Теорема (достатня умова інтегрування функції)

Якщо функція f(x) є неперервною на відрізку , то інтеграл існує.

Поняття визначеного інтеграла, яке було введено у випадку , узагальнюється на випадки .

Означення. Визначений інтеграл з однаковими межами інте­грування дорівнює нулю:

Означення. Якщо і існує,

тоді

Основні властивості визначеного інтеграла

Властивості, що виражаються рівностями

1. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми інтегровних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від ціх функцій:

.

Ця властивість має місце для будь-якого скінченого числа доданків.

3. Аддитивність визначеного інтеграла.

Нехай функція y = f(x) є інтегровною на найбільшому з від­різ­ків Тоді вона є інтегровною на двох інших відріз­ках, і має місце рівність:

при будь-якому взаємному розташуванні точок a,b, і c.

4. Теорема про середнє значення для визначеного інтеграла.

Нехай функція f(x) є неперервною на відрізку . Тоді на інтер­валі (a,b) існує точка с (a<c<b) така, що

або

Значення називається середнім значенням функції на відрізку .

Властивості, що виражаються нерівностями

1. Теорема про інтегрування нерівностей.

Нехай функції і є інтегровними на відрізку і .

Тоді

.

2. Нехай функція є інтегровною на відрізку . Тоді функція також є інтегровною на цьому відрізку і має місце нерівність:

3. Теорема про оцінку визначеного інтеграла.

Нехай функція є інтегровною на відрізку і в кожній точці цього відрізка виконується нерівність

.

Тоді

.

2. ІНТЕГРАЛ ЗІ ЗМІННОЮ ВЕРХНЬОЮ МЕЖЕЮ.
ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ

Нехай функція є неперервною на відрізку . Тоді вона є інтегровною на будь-якому відрізку . Отже, для довільного існує інтеграл із сталою нижньою межею інтегрування а і змінного верхньою межею інтегрування х. Цей інтеграл є функцією верхньої межі:

.

Означення. Функція називається інтегралом із змінною верхньою межею інтегрування.

Теорема Барроу.

Похідна інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі існує і дорівнює значенню підинтегральної функції в точці, рівній верхній межі:

.

Таким чином, функція є однією з первісних для підин­тегральної функції f(x).

Теорема Барроу вказує на зв’язок між невизначеним і визна­ченим інтегралами і дає можливість встановити простий метод обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбниця.

Поиск по сайту: