Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Частковий та повний прирости ф-ії двох змінних



Різницею називають повним приростом ф-ії при переході від точки (х00) до точки і позначають Dz. Різницю називають Частковим приростом по х, а різницю - частковим приростом по у.

Аналогічно визначаються прирости ф-ії більш ніж двох змінних.

 

Диференційовність ф-ії двох змінних

Ф-ія називається диференційовною у точці (х00), якщо її повний приріст Dz можливо подати у вигляді: , де А, В – числа, a, b – нескінченно малі при Dxà0, Dyà0.

 

Головна лінійна структура приросту ф-ії, тобто АDх+ВDу називається повним диференціалом ф-ії (першим диференціалом) f(x;y) в точці x0, y0 і позначається dz:

 

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (x0,y0), тоді існують границі:

 

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в точці (х00) і в її деякому околу. Якщо існує , то вона називається частинною похідною по х (по у) функції в точці (х00) і позначається або .

 

Достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних у точці

Існування частинних похідних – необхідна, ала не достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних в точці.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) в деякому околу точки (х00) має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в точці (х00).

 

Диференціювання складної ф-ії

Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(u;v), де u=u(x;y), v=v(x;y) і нехай ф-ії u(x;y), v(x;y) мають у деякому околу точки (х00D неперервні частинні похідні, а ф-ія z=f(u;v) має неперервні частинні похідні в деякому околу точки (u0;v0), де u0=u(x0;y0), v0=v(x0;y0). Тоді складна ф-ія z=f(u(x,y);v(x,y)) диференційовна в точці (х00), причому

 

Похідна за напрямом. Градієнт

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P0=(x0;y0); деякий промінь з початком в точці P0=(x0;y0); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P0=(x0;y0); Dl – довжина відрізка P0Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р0 і позначається

В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі Ох , а – за напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0) за напрямом .

 

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P0=(x0;y0) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом причому де – значення частинний похідних в точці P0=(x0;y0).

 

Означення: Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0)

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.