Різницею називають повним приростом ф-ії при переході від точки (х0;у0) до точки і позначають Dz. Різницю називають Частковим приростом по х, а різницю - частковим приростом по у.
Аналогічно визначаються прирости ф-ії більш ніж двох змінних.
Диференційовність ф-ії двох змінних
Ф-ія називається диференційовною у точці (х0;у0), якщо її повний приріст Dz можливо подати у вигляді: , де А, В – числа, a, b – нескінченно малі при Dxà0, Dyà0.
Головна лінійна структура приросту ф-ії, тобто АDх+ВDу називається повним диференціалом ф-ії (першим диференціалом) f(x;y) в точці x0, y0 і позначається dz:
Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (x0,y0), тоді існують границі:
Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в точці (х0;у0) і в її деякому околу. Якщо існує , то вона називається частинною похідною по х (по у) функції в точці (х0;у0) і позначається або .
Достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних у точці
Існування частинних похідних – необхідна, ала не достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних в точці.
Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) в деякому околу точки (х0;у0) має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в точці (х0;у0).
Диференціювання складної ф-ії
Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(u;v), де u=u(x;y), v=v(x;y) і нехай ф-ії u(x;y), v(x;y) мають у деякому околу точки (х0;у0)ÎD неперервні частинні похідні, а ф-ія z=f(u;v) має неперервні частинні похідні в деякому околу точки (u0;v0), де u0=u(x0;y0), v0=v(x0;y0). Тоді складна ф-ія z=f(u(x,y);v(x,y)) диференційовна в точці (х0;у0), причому
Похідна за напрямом. Градієнт
Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P0=(x0;y0); l деякий промінь з початком в точці P0=(x0;y0); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P0=(x0;y0); Dl – довжина відрізка P0Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р0 і позначається
В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі Ох , а – за напрямом осі Оу.
Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0) за напрямом .
Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P0=(x0;y0) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом причому де – значення частинний похідних в точці P0=(x0;y0).
Означення: Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0)