Застосування інтегралів у задачах економіки

1. Знаходження загальних та середніх витрат за відомими маргінальними витратами. Якщо відома функція маргінальних витрат (нагадаємо, що маргінальні витрати - це витрати на виробництво додаткової одиниці продукції), то за допомогою інтегрування можна знайти функцію загальних витрат:

Середні витрати можна знайти за формулою

2. Знаходження загального та середнього доходу за відомою функцією маргінального доходу.Якщо відома функція маргінального доходу (дохід від продажу додаткової одиниці продукції чи послуги), то функцію загального доходу можна знайти за формулою

а середній дохід

.

3. Знаходження обсягу виробленої продукції.Нехай функція описує зміну продуктивності деякого виробництва з плином часу. Тоді обсяг продукції , випущеної за проміжок часу обчислюють за формулою

.

4. Знаходження приросту капіталу (основних фондів). Якщо капітал розглядати як функцію часу , а чисті інвестиції відповідно як (чисті інвестиції – це загальні капіталовкладення, які були зроблені за певний проміжок часу, за винятком інвестицій на відшкодування основних фондів, що виходять з ладу), то приріст капіталу за період з моменту часу до можна знайти за формулою

.

5. Надлишок (додатковий виграш) споживача. Важлива мета мікроекономічного аналізу – здійснити оцінку впливу цін на добробут споживача у тих випадках, коли деякі споживачі готові заплатити за товар вищу ціну, ніж реальна ціна рівноваги. Споживачі при купівлі даного товару отримують певну чисту вигоду, яку називають надлишком споживача (виграшем споживача).

Розглянемо криву попиту деякого товару. Нехай - рівноважна ціна, - кількість товару, що реалізується за цією ціною. Припустимо, що товар надходить на ринок невеликими партіями .

За першу партію товару споживач був би готовий заплатити ціну , тоді як ринкова ціна дорівнює . Загальні витрати

споживача від придбання першої партії товару дорівнювали б площі прямокутника (тобто ), тоді як його реальні витрати дорівнюють (тобто площі прямокутника ). Різниця двох площ є надлишком (чистою вигодою) споживача від купівлі першої партії товару.

За другу партію товару споживач був готовий заплатити ціну , а сплачує знову , тобто отримає чисту вигоду . З малюнка бачимо, що сума площ всіх прямокутників приблизно дорівнює визначеному інтегралу:

.

Надлишок споживача ( ) – це різниця між гіпотетичними витратами споживачів, які могли би бути, і реальними витратами в умовах ринку, що дорівнюють :

Надлишок споживача точка рівноваги

.   Надлишок споживача є своєрідним мірилом добробуту споживачів, що утворюється на ринку окремого блага.

6. Аналіз нерівномірності у розподілі серед населення за допомогою кривої Лоренця. Крива Лоренця показує залежність відсотка доходів від відсотка населення, що їх отримує.

Частка доходів   1(100%) 0 1(100%) частка

Якби розподіл доходів був рівномірним, графік функції йшов би по діагоналі квадрата. Тому чим більша площа заштрихованої лінзи, тим нерівномірніше розподілено прибутки у суспільстві. Площу фігури між бісектрисою і кривою Лоренця, віднесену до площі трикутника , називають

населення коефіцієнтом Джинні, який характеризує ступінь нерівномірності у розподілі доходів серед населення.

7. Застосування інтегралів у фінансових розрахунках. Для визначення економічної ефективності капітальних вкладень використовують поняття дисконтування: знаходження початкової суми через час за її кінцевою величиною для заданої відсоткової ставки . Як було показано раніше (див п. 1) для неперервного нарахування відсотків кінцева сума обчислюється за формулою , де - питома відсоткова ставка. Якщо сума змінюється за часом і описується функцією , тоді дисконтована сума за період обчислюється за формулою

.

Якщо ж неперервне нарахування відсотків продовжується нескінченно довго, наприклад, у випадку експлуатації землі, то знаходження дисконтованої суми призводить до формули, що включає невласний інтеграл:

.

Приклад 1.

Функція маргінальних втрат має вигляд . Знайти функцію загальних витрат і обчислити витрати на виробництво 15 одиниць продукції, якщо витрати на виробництво 10 одиниць продукції становлять 670 грн.

Розв’язування:

Функцію витрат знаходимо інтегруванням:

,

де - константа інтегрування, що знаходиться з умови . Тому , звідки грн. Остаточно маємо:

.

Стала інтегрування дорівнює сталим витратам, що відповідають обсягу виробництва , отже для функції загальних витрат

для (грн.).

 

Приклад 2.

Відома функція маргінального доходу . Знайти функціональну залежність загального доходу і середнього доходу від обсягу продукції і обчислити ці показники у випадку, коли обсяг продукції становить 20 одиниць.

Розв’язування:

Маємо:

. Легко бачити, що для (дохід буде нульовим, коли продукція не виробляється). Отже, загальний дохід

середній дохід . Знайдемо ці показники, коли обсяг продукції становить 20 одиниць. Маємо: , , . Таким чином, для рівня виробництва од. виробник матиме 237 грн. додаткового доходу за додаткову одиницю продукції, 4873 грн. загального доходу, що дає середній дохід 243,67 грн. за одиницю продукції.

 

Приклад 3.

Функція маргінального доходу фірми має вигляд . Фірма хоче спрогнозувати додатковий загальний дохід, який вона отримає від збільшення щотижневого продажу продукції з 300 до 400 од.

Розв’язування:

0 300 400

З малюнка бачимо, що для визначення додаткової величини доходу треба зінтегрувати функцію маргінального доходу на проміжку і знайти площу трапеції. Маємо:

4999(грн.)

Приклад 4.

Визначити обсяги продукції (ум. од.), виробленої за третю годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією

Розв’язування:

Шуканий обсяг визначається за формулою . У даній задачі

(ум. од.)

 

Приклад 5.

Чисті інвестиції задано функцією . Визначити:

а) приріст капіталу за три роки;

б) термін часу (у роках), за який приріст капіталу складе 50000.

Розв’язування:

а) покладемо . Тоді

б) позначимо шукану тривалість часу через , тоді . Підставимо . Маємо: (року).

 

Приклад 6.

Знайти надлишок споживача, якщо крива попиту задана рівнянням , рівноважна кількість товару дорівнює 2.

Розв’язування:

Приклад 7.

За даними досліджень розподілу прибутків в одній країні, крива Леренця може бути описана рівнянням , де - частка населення, - частка прибутків населення. Обчислити коефіцієнт Джинні.

Розв’язування:

Приклад 8.

Визначити початковий вклад , якщо виплати повинні складати 100 грн. протягом 4 років, а відсоткова ставка становить 7%.

Розв’язування:

Приклад 9

Визначити дисконтований дохід за три роки при відсотковій ставці 8%, якщо початкові капіталовкладення склали 10 млн. грн. і передбачається щорічне збільшення капіталовкладень на 1 млн. грн.

Поиск по сайту: