Приклади для розв’язування

Розділ 6. ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ

План

Первісна та невизначений інтеграл.

Основні властивості невизначеного інтеграла.

Таблиця невизначених інтегралів.

Визначений інтеграл.

Формула Ньютона – Лейбніца.

Використання визначених інтегралів для обчислення площ плоских фігур.

Приклади для розв’язування задач.

Первісна та невизначений інтеграл.

В багатьох практичних задачах необхідно по заданій похідній відновити первісну функцію.

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку (а; b), , якщо на цьому проміжку .

Операція знаходження первісних для функції f(x) називається інтегруванням f(x).

Означення:Невизначеним інтегралом для неперервної функції називають множину всіх первісних функцій і позначають

де:

— знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x) dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Основні властивості невизначеного інтеграла.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Таблиця невизначених інтегралів.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17.

Визначений інтеграл

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Формула Ньютона – лейбніца.

Якщо у функції f(x) існує первісна F(x), то

Використання інтегралів для обчислення площі плоских фігур

№ п/п	Назва поняття.	Геометричне зображення	Формула для обчислення.
1.	Площа криволінійної трапеції, якщо на відрізку
2.	Площа криволінійної трапеції, якщо на відрізку
3.	Якщо фігура обмежена графіками неперервних на відрізку функціями і , при чому
4.	Якщо функціями кілька разів змінює знак на відрізку , то інтеграл для обчислення площі на всьому відрізку розбиваємо на частини. Інтеграл буде додатній на тих частинах, де і від’ємний там де .

Приклади для розв’язування.

1. Знайти невизначені інтеграли.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 2.** Знайти невизначені інтеграли. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)	24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45)   10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)
3.* Знайти невизначений інтеграл методом заміни змінної.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.	13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
4. **Знайти невизначений інтеграл методом заміни змінної.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)	15) 16) 17) 18) 19) 20) 21)   22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)
5. ***Обчислення невизначеного інтеграла методом заміни змінної
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.	11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
6. Обчислити визначений інтеграл.
1) 2)	3) 4)
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)	13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

7. **Обчислити площі плоских фігур, обмежених лініями:

Поиск по сайту: