Приклад виконання завдання К2

Вихідні дані: f(t)=0,5t³ см; r₁=5см, R₁=7см; R₂=6 см (рис.2.4).

1 Визначаємо швидкість та прискорення вантажу А, який робить поступаль- ний рух: При t=2 c v_A=6 см/с, а_А=6 см/c².

2 Визначаємо кутову швидкість та кутове прискорення шківа 1:

.

3 Визначаємо кутову швидкість та кутове прискорення шківа 2:

4 Визначаємо швидкість та прискорення точки М: см/с;

; а_М=

=14,45 см/с². Відповідні вектори показуємо на схемі (рис.2.5).

R₁

r₁ R₂

M

М

f(t)

A Рис.2.4 Рис.2.5

Тема 3 ПЛОСКИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА

3.1 Загальні вказівки

Рівняння плоского руху твердого тіла мають вигляд: x_A=x_A(t), y_A=y_A(t),

де точка А – обраний полюс, - кут повороту тіла ( [1] ).

Задачі, в яких відомі ці рівняння і потрібно визначити швидкість та приско- рення будь-якої точки тіла, зустрічаються рідко. Як правило, звичайна поста – новка задачі кінематики плоского руху виявляється такою: відома швидкість (прискорення) однієї точки тіла і траєкторія іншої точки, потрібно визначити швидкість (прискорення) будь-якої точки тіла.

Швидкість і прискорення будь-якої точки В виражаються через швидкість і прискорення обраного полюса А відповідно таким чином:

де , ( ;

, де (за модулем вектор

спрямований від точки В до А; ).

З цих виразів випливає, що швидкість будь-якої точки тіла визначається швидкістю полюса А та кутовою швидкістю тіла.

Прискорення будь-якої точки визначається прискоренням полюса А, куто- вою швидкістю тіла та його кутовим прискоренням.

Тому і сенс задач кінематики плоского руху полягає у визначенні цих харак- теристик руху. В задачах на визначення швидкості зручно використовувати миттєві центри швидкостей.

Нехай у тілі, що зображене на рис.3.1, відомі швидкість точки А і траєкторія точки В. Якщо ми проведемо перпендикуляр до швидкості точки А і нормаль до траєкторії точки В, то на перетині цих прямих одержимо миттєвий центр швидкостей – точку Р (нагадаємо, що швидкість точки В дотична до траєкто- рії). Тепер можна визначити кутову швидкість тіла: .

Швидкість будь-якої точки дорів-

v_A нює добутку кутової швидкості на миттєвий радіус даної точки й спря-

мована перпендикулярно до радіуса

в бік обертання тіла:

v_C

А v_C = , ,

С v_B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В При визначенні прискорень необ-

хідно спочатку розв’язати задачу

про швидкості, щоб визначити ку-

тову швидкість тіла і швидкість

Рис.3.1 Р точки В.

Прискорення точки В виражається формулою:

Вектор повинен бути відомим, вектор після визначення кутової швидкості також стає відомим: . Цей вектор спрямований від точ- ки В до точки А (рис.3.2). Далі можна запропонувати або аналітичний, або гра- фічний шлях розв’язання задачі.

Незалежно від обраного шляху у а_А

необхідно взяти до уваги, що

прискорення точки В, яка рухаєть- А

ся вздовж відомої траєкторії, мож-

на розкласти на нормальну та до-

тичну складові: .

Тут , причому швид- В

кість визначається на першому О х

етапі розв’язання, а радіус кривиз-

ни даної траєкторії відомий. Рис.3.2

При аналітичному способі необ- хідно розв’язувати систему двох векторних рівнянь:

}(*)

З цією метою введемо дві взаємно перпендикулярні осі Ох та Оу і спроекту- ємо на ці осі всі члени векторних рівнянь (див. рис.3.2). Кути повинні бути відомими з конструкції:

а_Вх= ,

,

,

соs . Одержана система чотирьох рівнянь для чотирьох невідомих: .

Розв’язавши систему, отримаємо прискорення точки В (а_В= ) і ку- тове прискорення тіла. Після цього можна визначити прискорення будь- якої точки С:

( Тут ).

Визначаємо проекції вектора (див. рис.3.3):

} .

При графічному способі розв’язання необхідно в обраному масштабі побуду- вати векторні многокутники прискорень, відповідні до системи векторних рів- нянь (рис.3.4). Початок побудови – точка В. На перетині перпендикулярів до відрізку АВ і до вектора одержимо точку b. Вектор і є розв’язок – при- скорення точки В. Якщо потрібно знати кутове прискорення , то його можна визначити як ( - масштаб прискорень: ).

у b’

А

В

С

х

Рис.3.3 b Рис.3.4

3.2 Завдання К3

Дане завдання складається з двох частин – К3а та К3б.

Завдання К3а : кінематичне дослідження круглого диска, який котиться без ковзання. Завдані проекції на вісь Ох швидкості і прискорення центра O дис- ка та його радіус (рис.3.5). Потрібно визначити швидкість і прискорення точки на ободі диска, яка вказана у таблиці варіантів 3.1

D

C E

V_o А

B F a_o l

r

A G x О В

P

Рис.3.5 Рис.3.6

Таблиця 3.1 Варіанти завдання К3 а

Завдання К3б : Кінематика кривошипно-шатунного механізму.

Визначити швидкість повзуна В у вказаному положенні механізму; визначи- ти прискорення повзуна В і кутове прискорення шатуна АВ (методом побудо- ви многокутника прискорень) (рис.3.6)

Таблиця 4 Варіанти завдання К3 б

№ вар	°	1/c	r м	l м	№ вар	°	1/с	r м	l м	№ вар	°	1/с 1/c	r м	l м
			0,1	0,3				0,1	0,3				0,1	0,3
			0,2	0,3				0,2	0,3				0,2	0,3
			0,3	0,5				0,3	0,5				0,3	0,5
			0,1	0,2				0,1	0,2				0,1	0,2
			0,15	0,3				0,15	0,3				0,15	0,3
			0,2	0,4				0,2	0,4				0,2	0,4
			0,08	0,24				0,08	0,24				0,08	0,24
			0,1	0,25				0,1	0,25				0,1	0,2
			0,2	0,45				0,2	0,45				0,2	0,4
			0,15	0,25				0,15	0,25				0,15	0,3

3.2 Приклади виконання завдань К3а і К3б

Завдання К3а (рис.3.7). y

Дано: R=0,2 м, v_cx=3 м/с, а_сх= -2 м/с². М

Визначити: .

Розв’язання. a_c С v_c

Миттєвий центр швидкостей розта- R 30°

шований у точці Р (точці контакта з

підлогою), тому кутова швидкість х

Рис.3.7 Р

. Миттєвий радіус точки М РМ= =

=R =0,346 м. Швидкість точки М 5,19 м/с. Вектор швидкості спрямований перпендикулярно до РМ в бік обертання.

Прискорення точки визначаємо методом проекцій. За законами плоского ру- ху, якщо прийняти точку С за полюс, (*).

Вектор відомий. Доцентрове прискорення =15²*0,2=45 м/с²

Відповідний вектор спрямований від точки М до точки С (рис.3.8) .

Вектор обертального прискорення перпенди-

кулярний до МС. Кутове прискорення диска

С М одержимо прямим диференціюванням кутової

а_с кутової швидкості:

10 1/с², тому

Р R=10*0,2=2 м/с² .

Рис.3.8

Проектуємо обидві частини виразу (*) на осі х і у :

а_Мх=а_Сх+ = -2-45cos30°-2cos60°= -41,92 м/с²;

а_Му=а_Су+ 0-45cos60°+2cos30°= -20,77 м/с²;

а_М= = 46,81 м/с².

Завдання К3б (рис.3.8)

Дано: r=0.25 м, l=0,4 м, . Визначити: v_B, a_B, .

r А l v_A Р_АВ

О В А

Рис.3.8 v_B

О В

Рис.3.9

Розв’язання задачі будемо здійснювати “напівграфічним” способом, тому потрібно накреслити механізм в заданому положенні і в масштабі (рис.3.9).

Визначаємо кутову швидкість шатуна АВ і швидкість повзуна В. Для цього визначаємо швидкість точки А: 14*0,25=3,5 м/с

Знаходимо положення миттєвого центра швидкостей (м.ц.ш.) шатуна. Для цього продовжуємо лінію ОА до перетину з перпендикуляром до швидкості (яка, очевидно, горизонтальна). Точка перетину Р_АВ є м.ц.ш. шатуна АВ.

З креслення (з урахуванням масштабу) одержимо миттєві радіуси точок А і В:

АР_АВ=0,44 м, ВР_АВ=0,34 м. Кутова швидкість шатуна дорівнює:

м/с.

Тепер можна одержати швидкість повзуна: 7,95*0,34=2,7 м/с.

Для визначення прискорення повзуна прискорення точки В потрібно вира- зити через прискорення точки А, яка прийнята за полюс на ланці АВ:

. (**)

Точка належить одночасно до шатуна і до кривошипу, який обертається із сталою кутовою швидкістю навколо точки О. Тому прискорення точки А виз- начається таким чином: а_А= 49 м/с². Вектор спрямований А до О (рис.3.10). Далі обчислюємо величину вектора

=25,28 м/с². Цей вектор спрямований від В до А (рис.3.10).

Тепер можна побудувати у масштабі многокутник прискорень, відповідний до виразу (**) (рис.3.11).

d В

А

О c

В a

Рис.3.11

Рис.3.10

Поиск по сайту: