Схемы конструкций изображены на рис. С5.1–С5.4. Исходные данные приведены в табл. С5. Во всех вариантах сила наклонена к оси x под углом a, который изменяется от 0 до 2p. Требуется определить реакции связей в функции угла a. Кроме того, необходимо найти значения угла a, при которых вес исследуемой опоры и потенциальная энергия деформации всех опор оказываются минимальными.
Методика решения задачи с элементами оптимизации
Решить поставленную задачу – значит найти лучший вариант проектируемого объекта, например, конструкции машины или сооружения, технологического процесса и др. В данном случае решение задачи оптимизации сводится к определению значений угла a, при которых рассматриваемая конструкция оказывается лучшей по одному из двух критериев: или одна из исследуемых опор должна иметь минимальный вес, или все опоры должны деформироваться с минимальной потенциальной энергией. Последнее эквивалентно, например, минимальному нагреву опоры, обусловленному ее деформацией.
Критерий минимального веса опоры
Для упрощения задачи представим все опоры в виде стержней заданной длины, расположенных вдоль составляющих сил реакций. Таким образом каждый стержень будет нагружен некоторой продольной силой , модуль которой равен модулю соответствующей силы реакции рассматриваемой опоры. Если реакцией опоры является пара сил, то паре соответствуют два стержня – по одному для каждой силы.
Модуль силы можно представить в виде
, (25)
где S – площадь поперечного сечения стержня, s – сила, приходящаяся на единицу этой площади.
Умножим и разделим правую часть равенства (25) на длину l стержня и удельный вес g материала, из которого он изготовлен. Получим
, (26)
где G – вес стержня, l* = l×g/s.
Рис. С5.1
Рис. С5.2
Рис. С5.3
Рис. С5.4
Таблица С5
Номер варианта
(рис. С5.1–С5.4)
F1
F2
М,
q,
Исследуемая
реакция
кН
кН×м
кН/м
5,0
7,0
24,0
0,8
RA
6,0
10,0
22,0
1,0
RB
7,0
9,0
20,0
1,2
RA
8,0
8,0
18,0
1,4
RA
9,0
7,0
16,0
1,6
RB
11,0
7,0
20,0
2,0
RD
13,0
10,0
10,0
2,4
RA
14,0
12,0
14,0
2,6
RB
15,0
5,0
14,0
2,8
RD
12,0
4,0
16,0
3,0
RA
9,0
6,0
18,0
3,2
RA
6,0
8,0
20,0
3,4
RA
9,0
12,0
26,0
4,0
RB
11,0
10,0
18,0
3,5
RB
13,0
9,0
30,0
3,0
RA
10,0
7,0
20,0
2,0
RB
5,0
6,0
15,0
1,5
RA
8,0
5,0
10,0
1,4
RA
11,0
4,0
5,0
1,3
RA
12,0
8,0
9,0
1,1
RB
8,0
9,0
13,0
1,2
RA
6,0
10,0
15,0
1,4
RA
10,0
12,0
17,0
1,6
RA
12,0
6,0
15,0
2,2
RA
Как видно, при заданном коэффициенте l* оптимизацию по весу стержня можно заменить оптимизацией по силе . В дальнейшем входящие в коэффициент l* величины l, g, s считаются известными. Для расчета их значения не понадобятся.
В тех вариантах задачи, где опора A представляет собой жесткую заделку, роль силы играет равнодействующая, которая равна главному вектору плоской системы сил реакций заделки, линия действия которой находится на некотором расстоянии h от точки A (h = MA/RA). В тех вариантах, где в точке A расположена шарнирно-неподвижная опора,
.
В данной задаче в результате решения соответствующей системы уравнений равновесия находят RA как функцию одного аргумента a. Оптимальное значение реакции найдется из исследования функции RA на глобальный экстремум, в данном случае глобальный минимум (глобальным минимумом функции называется наименьшее ее значение в изучаемом интервале изменения аргумента).
Численные значения реакций всех опор зависят от sin a и cos a, которые имеют период 2p. Это позволяет ограничиться поиском глобального минимума RA в интервале изменения аргумента a:
Значения RA вычисляются с интервалом Da = p/12 в соответствии с формулой , где k = 1, 2, . . . , 24 и . По вычисленным значениям реакции RA строится график зависимости RA = RA (a), из которого находят значение a, соответствующее глобальному минимуму RA.
Критерий минимальной потенциальной энергии деформации
По-прежнему опоры представляем стержнями, работающими по направлениям составляющих реакций.
Из курса физики известно, что потенциальная энергия Пi деформации i-го стержня, нагруженного продольной силой Ni, равна
, (27)
где – удлинение (деформация) i-го стержня, вызванное силой Ni.
Деформация определяется согласно закону Гука:
. (28)
Здесь – длина i-го стержня; – площадь его поперечного сечения; – модуль упругости материала, из которого этот стержень изготовлен.
Подставив (28) в (27), найдем потенциальную энергию стержня в виде
, (29)
где коэффициент .
В дальнейшем величина считается известной и постоянной для всех стержней ( ). Суммарная потенциальная энергия стержней (опор) найдется сложением (29):
. (30)
Как видно, при известном коэффициенте оптимизацию конструкции по потенциальной энергии деформации опор можно заменить оптимизацией по параметру, равному сумме квадратов модулей составляющих сил реакций всех опор. Соответствующая целевая функция будет
, (31)
где Xi – модуль i-й составляющей реакции соответствующей опоры.
Следует отметить, что в числе модулей реакций могут быть как силы, так и моменты пар сил. Для приведения тех и других к одной размерности значения Xi, соответствующие моментам, необходимо разделить на характерный габаритный размер h конструкции. Во всех вариантах задания величину h принять равной 1м.
С помощью найденных выше значений Xi определяется целевая функция с шагом Da = p/12. По вычисленной целевой функции строится график f(a) в интервале . Глобальный минимум этого графика соответствует оптимальному значению угла a.