Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основні типи в'язей. Реакції в'язей



Табл.С0

Тип в’язі Умовне позна-чення Приклад вико-ристання в’язі. Можливі і заборонені ступені вільності* Заміна в’язі реакціями Точка прикладання і напрямок реакцій в’язі
Гладка поверхня Прикладається у точках дотику по-верхонь. Напрямок – по нормалі до поверхні .
Жорсткий невагомий стержень з шарнірними кінцями Прикладається в точці шарнірного закріплення тіла. Напрямок – вздовж прямої, яка з’єднує кінці стержня.
Шарнір циліндрич-ний нерухомий в площині Прикладається в точці шарнірного закріплення тіла. Напрямок – невідомий. Тому розкладається на дві складові.
Шарнір циліндрич-ний рухомий в площині Прикладається в точці шарнірного закріплення тіла. Напрямок – пер-пендикулярно по-верхні вздовж, якої рухається шарнір.
         
        Продовження табл.С0
  Закріплен-ня жорстке нерухоме в площині Прикладається в точці жорсткого закріплення тіла. Напрямок сили реакції невідомий. Тому реакція роз-кладається на дві складові та прикладається реактивний момент.
Шарнір циліндрич-ний в просторі (підшипник) Прикладається до осі шарніру. Сила реакції перпендикулярна осі обертання (осі шарніру) і розкладається на дві складові згідно осей координат .
Шарнір сферичний в просторі Прикладається до центру шарніру. Напрямок реакції невідомий. Тому вона розкладається на 3 складові .
Жорстке закріплення в просторі Прикладається у центрі ваги перерізу тіла в точці за-кріплення. Сила реакції та реактивний момент розкладаються на 3 складові.

 

 

Завдання С-1. Рівновага тіла під дією плоскої системи сил

 

Умова завдання. Жорстка рама (рис.С1.0 - С1.9) закріплена у точці за допомогою нерухомого шарніра, а у точці опирається на рухому шарнірну опору або на жорсткий стержень . На раму діють пара сил з моментом , зосереджена сила і рівномірно розподілене навантаження з інтенсивністю . Числові значення величин , , і , а також точки прикладання і кут дії сили , зазначені у табл.С1.

Визначити: реакції в'язей (опор і ).

 

 

 

Табл.С1

Номер рядка даних Точка прикладання сили , кН×м , кН/м , м
F, кН aо
H 0,5
E 0,8
K 0,9
D 0,6
H 1,0
E 1,4
K 1,2
D 1,5
H 1,1
E 0,7

Теоретичне обґрунтування : [4] § 1-16; [5] Разд. I, Гл.1 § 1-3, Гл.2 § 1-2, Гл.4 § 1-2, Гл.5 § 1-4; [6] Разд.1, гл. I § 1-3, гл. VI §13-18; [7]; [8]; [9]; [10].

Методичні вказівки.Завдання С-1 – на рівновагу тіла під дією плоскої системи сил. Вибраний об'єкт вивчення необхідно зробити вільним, тобто замінити в'язі на їхні реакції відповідно до табл.С0. Напрямок складових і реакцій в'язей вибирається довільно, але з врахуванням напрямку осей обраної системи координат. При складанні рівняння рівноваги моментів сил силу зручно розкласти на її складові і , а далі скористатися теоремою Вариньйона: .

 

Приклад С-1

Жорстка рама (рис.С1.а) закріплена у точці за допомогою нерухомої шарнірної опори, а у точці – спирається на жорсткий невагомий стержень . Розміри рами і діючі на неї сили показані на рис.С1.a.

Дано:

 

 

Визначити: величину й напрямок реакцій

опор і .

 

Розв'язування.

Для розв'язку задачі скористаємося загальним алгоритмом розв'язування задач статики.

1. В умові потрібно визначити реакції опор рами. За об'єкт вивчення приймаємо раму .

2. На раму діють активні сили , і пара сил з моментом М.

3. Вибираємо плоску декартову систему координат xy(рис.С1.б).

Звільнемо раму від накладених на неї в'язей. Для цього, замінимо в'язі і їх реакціями. У нерухомому шарнірі напрямок реакції в'язі заздалегідь невідомий, тому зображуємо дві складові цієї реакції довільно у напрямку осей x і yі позначимо їх відповідно і . Реакцію стержня зобразимо у вигляді сили , спрямованої вздовж стержня.

4. Аналізуємо задачу на статичну означеність. Для плоскої системи сил необхідно і достатньо скласти три рівняння рівноваги. Таким чином маємо три рівняння рівноваги і три невідомих сили ( і ). Тобто система є статично визначеною.

5. Поміщаємо рисунок в обрану систему координат .

6. Запишемо рівняння рівноваги системи для даної задачі.

При складанні рівнянь рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю замінимо (рис.С1.б) зосередженою силою , прикладеною у центрі ділянки, на яку діє сила.

Підставимо числові значення і знайдемо шукані реакції.

З рівняння (1):

З рівняння (3):

З рівняння (2):

З огляду на те, що і - є дві складові однієї реакції в'язі , можна визначити цю реакцію за величиною.

Напрямок реакції визначається кутом між напрямком вектора і віссю х. Визначимо його:

7. Виконаємо перевірку отриманих результатів.

Перевірочним може бути будь-яке рівняння рівноваги, не використане при розв'язуванні раніше. Наприклад, рівняння моментів щодо нового центра. Новий центр моментів бажано призначати так, щоб більше невідомих сил давали б ненульові моменти. Такій умові відповідає точка рами. Після підстановки заданих сил і знайдених реакцій перевірочне рівняння рівноваги повинне перетворюватися у тотожність. Для нашого прикладу:

 

 

Перевірка показала, що реакції знайдені вірно.

Додатні значення реакцій указують на те, що обраний раніше напрямок реакцій виявився правильним. Таким чином, величина й напрямок реакцій в'язей є визначеними.

 

Відповідь.

 

Завдання С-2. Рівновага складеної конструкції під дією плоскої системи сил

 

Умова завдання. Конструкція (рис.С2.0-С2.9) складається з жорстких косинця і балки, що у точці з'єднані шарнірно або вільно опираються один на одного. Зовнішніми в'язями, накладеними на конструкцію, є у точці нерухомий шарнір або жорстке закріплення; у точці – гладка площина, або невагомий стержень , або нерухомий шарнір; у точці – невагомий стержень або рухома шарнірна опора.

На конструкцію діють: пара сил з моментом і зосереджена сила . Числові значення і , а також точка прикладання і кут дії сили задані в табл. С2.

Визначити: реакції в'язей, які викликані заданими навантаженнями.

 

 

 

 

Табл. С2

Номер рядка даних , м , кН×м Точка прикладання сили
, кН
0,3 E
0,5 H
0,4 K
0,6 L
0,7 E
0,3 H
0,5 K
0,4 L
0,6 E
0,7 H

Теоретичне обґрунтування : [4] § 18-19; [5] Разд. I Гл. 4 § 1-2, Гл.5 § 4-7; [6] Разд. 1,гл V§ 34-35; [7]; [8]; [9]; [10].

Методичні вказівки. Завдання С-2 – на рівновагу конструкції, складеної з системи тіл, що знаходяться під дією плоскої системи сил. Якщо за об'єкт вивчення прийняти всю конструкцію, кількість невідомих реакцій в'язей перевищить кількість рівнянь рівноваги. Тому, для вирішення задачі необхідно розчленувати систему на дві частини і розглянути рівновагу кожної з частин окремо. У цьому випадку кількість невідомих і кількість рівнянь рівноваги зрівняються. Вибираючи за об'єкт вивчення частину конструкції, варто врахувати реакцію в точці, що зєднує цю частину з іншою. Відповідно закону рівності дії та протидії, на іншу частину конструкції діють та ж сама сила, але спрямована протилежно.

Для перевірки задачі необхідно розглянути рівновагу конструкції в цілому.

 

Приклад С-2

Конструкція (рис.С2.а) складається з косинця , який шарнірно закріплений у точці і вільно опирається на балку у точці . Балка закріплена у точці за допомогою нерухомого шарніра, а у точці шарнірно зв’язана з невагомим стержнем . Розміри конструкції та сили, що діють на неї показані на рис.С2.а.

 

Дано:

Визначити: реакції опор і силу взаємодії між косинцем і балкою у точці .

Розв’язування.

1. Розчленуємо конструкцію на два об'єкти вивчення: косинець і балку (рис.С2.б).

2. Зобразимо діючи силу і пару сил з моментом .

3. Замінимо зовнішні в'язі, накладені на конструкцію, їх реакціями.

Для косинця у точці введемо дві складові сили реакції нерухомого шарніра і . Силу дії балки на косинець прикладаємо в точці косинця у напрямку, перпендикулярному до балки (бо вона гладенька).

Для балки в точці В – дві складові сили реакції і , а також реакцію стержня , прикладену у точці і спрямовану уздовж стержня. Силу дії косинця на балку зобразимо в точці балки відповідно закону рівності дії та протидії, тобто = .

Навантажені силами об'єкти є вільними.

 

4. Розглянемо рівновагу об'єктів вивчення.

Система сил, що визначає цю рівновагу, є довільною плоскою зрівноваженою. Умова рівноваги кожного з об'єктів запишеться у вигляді системи трьох рівнянь. Маємо 6 рівнянь рівноваги і 6 невідомих сил в цих рівняннях. Тобто задача є статично визначеною.

 

5. Виберемо систему координат (рис.С2.б).

Щодо осей цієї системи орієнтація елементів конструкції й напрямок діючих на неї сил повинні бути визначеними.

 

6. Складемо рівняння рівноваги для кожного з обраних об'єктів. Отримаємо:

 

- для косинця:

 

- для балки:

 

7. Після підстановки в рівняння (1)-(6) числових значень відомих величин отримаємо:

 

8. Для перевірки отриманих результатів розглянемо рівновагу всієї конструкції, знов з'єднавши косинець і балку у єдине ціле (рис.С2.в).

 

Тепер сила взаємодії між косинцем і балкою є внутрішньою силою, яка не впливає на рівновагу всієї конструкції (в рівняннях рівноваги вона буде відсутня).

 

Запишемо рівняння моментів сил відносно центру .

 

 

Таким чином, реакції знайдено вірно.

Знак « - » перед величиною реакції вказує на те, що справжні напрямки сил і протилежні показаним на рисунку.

Відповідь.

 

 

 

 

Завдання С-3. Рівновага тіла під дією просторової системи сил

Умова завдання. Однорідна прямокутна плита вагою зі сторонами закріплена у точці сферичним шарніром, а у точці – циліндричним шарніром (підшипником) і утримується в рівновазі невагомим стержнем (рис.С3.0 – С3.9).

На плиту діють пара сил з моментом , що лежить у площині плити і сила . Напрямок і точка прикладання сили зазначені у табл.С3. Точки знаходяться всередині сторін плити.

Визначити:реакції вязей, накладених на плиту.

 

Табл.С3

Напрямок сили
Номер рядка даних Точка прикладання сили Точка прикладання сили Точка прикладання сили
D - - - -
- - H - -
- - - - E
D - - - -
- - H - -
- - - - E
D - - - -
- - H - -
- - - - E
D - - - -

Теоретичне обґрунтування : [4] § 28-29; [5] Разд. I Гл.7 § 1-7; [6] Разд.1 гл.V § 41-52; [7] ; [8]; [9]; [10].

Методичні вказівки.Завдання С-3 – на рівновагу тіла під дією просторової системи сил. Для вирішення задачі використовується алгоритм розв’язання задач статики (стор.6). Після заміни в'язей реакціями необхідно записати 6 рівнянь рівноваги в вигляді:

(1)

При обчисленні моментів сил відносно осей зручно розкласти сили на складові, які паралельні координатним осям. Тоді по теоремі Вариньона для кожної сили будемо мати:

(2)

 

Приклад С-3

Вертикальна прямокутна плита (рис.С3.а) вагою , сторони якої , закріплена в точці сферичним шарніром, а в точці – циліндричним шарніром (підшипником) і утримується в рівновазі невагомим стержнем , що лежить у площині, яка перпендикулярна осі х .

На плиту діють пара сил з моментом , що лежить у площині плити і сила , яка прикладена в точці і лежить в площині, що перпендикулярна осі z.Сила спрямована під кутом відносно додатного напрямку осі х(якщо його відкладати за рухом годинникової стрілки).

Визначити реакції в'язей плити.

 

Дано:

Визначити: реакції шарніру , підшипника і стержня .

Розв’язування.

1. Розглянемо рівновагу плити (рис.С3.а).

2. Зобразимо (рис.С3.б) активні сили, що діють на плиту: і пару сил з моментом .

 

3. Накладені на плиту в'язі замінимо їх реакціями. Реакцію сферичного шарніра розкладемо на три складові ; реакцію циліндричного шарніра - на дві складові (в площині, перпендикулярній осі підшипника); реакцію стержня спрямуємо вздовж стержня .

 

4. Діюча на плиту і зображена на рис.С3.б система сил є довільною просторовою зрівноваженою. Маємо 6 рівнянь рівноваги та 6 невідомих реакцій, тому задача статично означена.

 

5. Приймаємо запропоновану в умові систему координат xyz

 

6. Складемо рівняння рівноваги :

 

 

7. Підставимо числові значення і визначимо шукані реакції:


 

8. Для перевірки отриманих результатів виберемо нову систему координат з початком у центрі ваги плити (точка перетинання діагоналей) і з осями, паралельними осям (рис.С3.в).

 

Складемо останні три рівняння рівноваги моментів сил системи щодо нових осей координат.

 

 

Отримаємо:

 

Таким чином, шукані реакції знайдено вірно. Знак « - » перед числовими значеннями результатів указує на те, що реакції спрямовані протилежно напрямкам, які показані на рисунку.

 

Відповідь.

4. Кінематика

 

Основні поняття

 

Кінематика – розділ теоретичної механіки, у якому вивчається механічний рух обєкту без урахування причин, що викликають чи змінюють цей рух.

Основна задача кінематики точки:

- по заданому закону руху матеріальної точки визначити кінематичні характеристики руху точки (швидкість та прискорення).

Основна задача кінематики твердого тіла:

- по заданому закону руху твердого тіла визначити кінематичні характеристики руху тіла, а також кінематичні характеристики руху окремих точок, що належать цьому тілу.

 

Рівняння (закон) руху – математичні рівняння, за допомогою яких можна визначити положення матеріального об\єкта в будь який момент часу.

Поступальний рух – рух твердого тіла, при якому довільна пряма, проведена в тілі, рухається, залишаючись паралельною своєму початковому положенню. При поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково, тобто рухаються по однакових траєкторіях в кожну мить, з однаковими швидкостями і однаковими прискореннями. Тому законом поступального руху тіла є закон руху будь-якої його точки.

Обертальний рух навколо нерухомої осі – це рух твердого тіла, при якому точки тіла, що лежать на осі обертання, залишаються нерухомими, а всі решта точок рухаються по колах з радіусами, що дорівнюють відстані точок від осі обертання. Законом обертального руху є залежність кута повороту тіла від часу.

Поступальний і обертальний рухи тіла називають простими рухами.

Плоский рух – це рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, паралельних деякій нерухомій площині. Задається рух будь якої точки, яка приймається за полюс, і додається закон обертання тіла навколо осі, що проходить через полюс перпендикулярно до площини руху.

 

Алгоритм розв’язання задач кінематики:

1. Виділити об'єкт (точку, тіло), кінематичні характеристики якого потрібно визначити.

2. Визначити вид руху, який здійснює виділене тіло.

3. Визначити кінематичні характеристики тіла або точок тіла.

 

Завдання К-1. Кінематика точки

 

Умова завдання. Точка рухається в площині (рис.К1.0-К1.9, табл.К1; траєкторія точки на рисунках показана умовно). Закон руху точки заданий рівняннями: , , де і виражені в сантиметрах, - у секундах.

Визначити.1) Траєкторію руху точки; 2) для моменту часу визначити положення точки на траєкторії, її швидкість та прискорення , а також дотичне і нормальне прискорення і радіус кривизни у відповідній точці траєкторії.

Залежність зазначена на рисунках (рис.К1.0-К1.9), а залежність дана в табл.К1 (для рис.К1.0-К1.2 у стовпці 2, для рис.К1.3-К1.6 у стовпці 3, для рис.К1.7-К1.9 у стовпці 4).

Усі знайдені величини зобразити на рисунку.

 

 

Табл.К1

Номер умови
Рис.0-2 Рис.3-6 Рис.7-9
       

 

Теоретичне обґрунтування : [4] §36-46, [5] Разд.II, Гл. 1§.1-5, [6] Разд.2, гл.VII,§.62-65, гл.VIII, §66-68, гл.IX, § 70-77; [7]; [ 8].

 

Методичні вказівки.Завдання К-1 відноситься до задач кінематики точки. Тому задача зводиться до визначення траєкторії руху точки та її кінематичних характеристик (швидкості і прискорення).

Якщо рух точки відбувається у площині і заданий координатним способом, тобто , для визначення виду траєкторії необхідно виключити час з цих рівнянь і отримати залежність .* Траєкторією руху точки є графічне відображення цієї залежності за умовою . Розрахункове положення точки – це положення точки в момент часу .

У координатному способі швидкість точки визначають по формулах:

де і - проекції вектора швидкості точки на осі нерухомої декартової системи координат .

Аналогічно визначають прискорення:

де і - проекції вектора прискорення точки на осі нерухомої декартової системи координат .

Кінематичні характеристики точки визначаються також через проекції на рухомі осі координат (осі природного тригранника). При цьому швидкість завжди буде спрямована уздовж дотичної до траєкторії осі . Вектор прискорення знаходять через його проекції на нормаль і дотичну :

,

де і .

Варто підкреслити, що незалежно від способу розкладання вектора прискорення на складові, сума проекцій повинна давати той самий вектор , що також є показником правильності отриманого результату.

 

Приклад К-1

 

Рух точки відбувається в площині і заданий параметричними рівняннями:

 

(1)

Визначити:

1. Рівняння траєкторії руху точки. Зобразити траєкторію на рисунку.

2. Положення точки на траєкторії в момент часу і .

3. Швидкість точки в момент часу .

4. Прискорення точки в момент часу .

5. Дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу .

6. Радіус кривизни траєкторії точки в момент часу .

 

Усі знайдені величини зобразити на рисунку в масштабі.

 

Розв’язування.

1. Для визначення рівняння траєкторії точки виключимо параметр із рівнянь руху (1). Ураховуючи, що час входить в аргумент тригонометричних функцій, скористаємося формулою:

, тобто (2)

З рівнянь руху знаходимо вирази відповідних функцій і підставляємо в рівність (2)

чи (3)

Рівняння параболи (3) є рівнянням траєкторії руху точки. Враховуючи , що

-1 та -1 , маємо обмеження для та :

-1 та -2 , тобто траєкторією руху точки є частина параболи. Побудуємо траєкторію точки на рисунку К1.а з масштабним коефіцієнтом .

 

2. Визначимо початкове положення точки і положення точки в момент часу на траєкторії. Для цього підставимо в рівняння (1) час і . Отримаємо:

(4)

(5)

Таким чином (1;-2) , а (1,77; -1,41). Покажемо ці точки на траєкторії (рис.К1.а).

 

 

3. Визначимо швидкість точки. Проекції швидкості в довільний момент часу дорівнюють:

(6)

В момент часу

Модуль швидкості для моменту :

.

Побудуємо вектор швидкості точки по його складовим

, , де і в масштабі (рис.К1.а).

4. Визначимо прискорення точки. Проекції прискорення в довільний момент часу дорівнюють:

(7)

У момент часу одержимо:

Модуль прискорення точки :

Вектор повного прискорення точки побудуємо по його складових , де і в масштабі (рис.К1.б).

5. Визначимо дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу , використовуючи формули :

Побудуємо вектор повного прискорення точки по проекціях і (рис.К1.б). Для зображення векторів використовуємо той же масштаб, тобто Значення дотичного прискорення виявилося додатнім, тому відкладаємо його по осі М (дотичної до траєкторії) у напрямку вектора швидкості . Вектор нормального прискорення направимо перпендикулярно до осі М по нормалі М (вбік увігнутості траєкторії).

Збіг векторів повного прискорення при вирішенні задачі в нерухомій системі координат Оxy і рухомій системі координат М говорить про правильність результату.

6. Радіус кривизни траєкторії в точці визначимо по формулі:

 

Відповідь.

 

Завдання К-2. Кінематика простих рухів тіл

Умова завдання. Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.0 – К2.9, табл.К2). Колеса пов'язані між собою зубчастою або пасовою передачею; рейка знаходиться у зубчастім зачепленні з одним із коліс; а вантаж прикріплений до нитки, яка намотана на колесо. При русі механізму відносне ковзання його елементів не відбувається, а пас і нитка вважаються нерозтяжними.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і ; у колеса 2 - і ; у колеса 3 - і . На ободах коліс розташовані точки і .

У стовпці «Дано» табл.К2 зазначений закон руху ведучої ланки механізму. Додатний напрямок для кута - проти руху годинникової стрілки; для відстані - униз ; - виражено в рад, - у см, час - у сек.

Визначити.В момент часу визначити указані в стовпцях «Знайти» швидкості та прискорення відповідних тіл і точок тіл. Знайдені величини показати на рисунку.

 

 

 

 

 

Табл.К2

Номер рядка даних Дано Знайти
Швидкості Прискорення

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.