Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

За допомогою крутильного балістичного маятника



Дослідження обертального руху твердого тіла

Та визначення швидкості польоту кулі

за допомогою крутильного балістичного маятника

 

Мета роботи: дослідити застосування законів обертального руху та визначити швидкість польоту кулі.

Короткі теоретичні відомості та методика проведення експерименту.Безпосереднє вимірювання швидкості польоту кулі, тобто визначення часу, за який куля проходить відому відстань, ускладнене великою величиною її швидкості (102–103 м/с залежно від виду зброї). Із цією метою використовуються непрямі методи, наприклад, вимірювання періоду коливань крутильного балістичного маятника при непружному ударі кулі об його мішень. Балістичний маятник має значну (порівняно з кулею) масу і, отже, проявляє більші інерційні властивості.

Інерційні властивості твердих тіл характеризують їхнім моментом інерції. Абсолютно тверде тіло можна розглядати як систему матеріальних точок з незмінними в процесі руху відстанями між ними. Моментом інерції системи матеріальних точок відносно осі Z називається величина IZ, яка дорівнює сумі добутків мас mi всіх матеріальних точок, утворюючих систему, на квадрат їхніх відстаней від даної осі:

або для суцільного тіла

Щоб тверде тіло із закріпленою віссю привести в обертовий рух, необхідно хоча б в одній з його точок прикласти зовнішню силу , яка не проходить через вісь обертання й не паралельну їй, тобто подіяти моментом сил. Моментом сили відносно нерухомої точки О називається векторний добуток радіус вектора , проведеного з точки О в точку А прикладання сили , на саму цю силу: . Вектор спрямований перпендикулярно площині векторів та (рис. 1). Його модуль , де a – кут між та , − плече сили , яке дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного із точки О на лінію дії сили . Моментом сили відносно осі називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно будь-якої точки, обраної на даній осі.

Аналогічно для механічної системи вводиться поняття моменту імпульсу. Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О називається векторний добуток радіус вектора матеріальної точки О, на імпульс цієї матеріальної точки : . Момент імпульсу системи матеріальних точок відносно точки О визначається як сума векторів моментів імпульсу відносно тієї ж точки всіх матеріальних точок системи. Моментом імпульсу механічної системи відносно осі Z називається проекція на цю вісь вектора моменту імпульсу системи відносно будь-якої точки, обраної на даній осі.

Для системи точок виконується основний закон динаміки обертального руху: швидкість зміни моменту імпульсу системи дорівнює сумарному моменту всіх зовнішніх сил, що діють на систему, відносно цієї осі (рівняння моментів):

(1)

Момент імпульса системи відносно осі Z можна визначити як добуток моменту інерції твердого тіла на його кутову швидкість : . Якщо сумарний момент зовнішніх сил дорівнює нулю: , то (1) приймає вигляд закону збереження моменту імпульсу:

або (2)

Розглянемо цей закон стосовно крутильного балістичного маятника, у який горизонтально потрапляє куля, що летить.

Крутильний балістичний маятник являє собою симетричну відносно осі OZ хрестовину із двома вантажами мас m0, які можуть переміщатися по горизонтальній частині хрестовини та потрібні для зміни моменту інерції маятника (рис. 2). Нерухомий вантаж-насадка масою m1 потрібен для урівноважування мішені 2. Хрестоподібний маятник укріплений на кронштейнах 4 за допомогою пружного дроту 3 і може робити коливання навколо вертикальної осі ОZ. Після влучення кулі в мішень 2 маятник відхиляється на деякий кут j , величина якого визначається по круговій шкалі 1.

Куля масою m, що летить горизонтально, і крутильний балістичний маятник представляють собою механічну систему, у якій , а тому виконується закон збереження моменту імпульсу

, (3)

 

и − вектори моментів імпульсу, відповідно, кулі й маятника до влучення кулі в мішень; и − вектори моментів імпульсу кулі й маятника після влучення кулі.

Оскільки напрямок векторів моментів імпульсу збігається з віссю обертання маятника OZ, суму їхніх векторів можна замінити алгебраїчною сумою їхніх проекцій:

(4)

де − проекції векторів моментів імпульсу кулі та маятника на вісь OZ.

Проекція моменту імпульсу кулі, що летить, на вісь OZ

 

, (5)

де m − маса кулі; n − швидкість кулі; R − відстань від точки влучення кулі в мішень 2 до осі обертання маятника.

Оскільки маятник до удару не рухається, проекція моменту імпульсу маятника на вісь OZ:

, (6)

Після влучення, коли куля застрягне в мішені (абсолютно непружний удар), маятник з кулею почнуть обертатися відносно осі OZ з деякою початковою кутовою швидкістю w0, тому

, (7)

де I − сумарний момент інерції маятника й застряглої в ньому кулі.

Момент інерції кулі малий порівняно з моментом інерції маятника Iм, нехтуючи ним, вважатимемо, що

(8)

Підставивши значення моментів імпульсу кулі та маятника у формулу (4), знайдемо швидкість кулі

(9)

У цьому виразі невідомі значення початкової кутової швидкості і моменту інерції маятника . Безпосередньо їх виміряти складно, тому їх необхідно виразити через легко вимірювані величини. Практично роблять так: значення визначають через початковий кут закручування та період коливань .

При малих деформаціях у дроті, що закручується, виникає гальмуючий момент пружних сил , який, за аналогією із законом Гука, можна вважати пропорційним куту повороту дроту j:

, (10)

де D − модуль крутіння дроту.

Підставляючи (10) в основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла з нерухомою віссю обертання, одержимо:

.

Це рівняння при малих кутах закручування ( ) має рішення з якого випливає, що маятник здійснює гармонійні коливання із циклічною частотою і кутовою амплітудою .

Потенційна енергія закрученого дроту, яка дорівнює , при його розкручуванні переходить у кінетичну . За відсутності тертя відповідно до закону збереження механічної енергії:

,

звідки

Циклічна частота коливань пов'язана з періодом коливань Т співвідношенням

(11)

Отже,

(12)

Значення можна розрахувати або виходячи із властивості адитивності моменту інерції, або виразити його також, як і , через період коливань . У другому випадку скористаємося співвідношенням (11):

(13)

Щоб знайти коефіцієнт жорсткості пружини , можна виходити із властивості адитивності моменту інерції. Запишемо його величину для двох симетричних відносно осі положень вантажів масою m0 – коли вони максимально здвинуті та коли роздвинуті. При цьому відстані від центрів мас вантажів до осі обертання рівні та , відповідно. Отже, момент інерції маятника складається з моментів інерції двох грузів масою m0, рівних по величині моментів інерції мішені й противаги , а також з моменту інерції стрижня (моментом інерції кулі ми нехтуємо, тому що її маса m значно менша за масу елементів, що складають маятник):

.

З урахуванням (13) і розглядаючи вантажі масою m0 як точкові маси, розташовані симетрично на відстанях та від осі обертання, для першого і другого експериментів, відповідно, запишемо:

,

де і – періоди коливань маятника при здвинутих і роздвинутих вантажах, відповідно.

Віднявши від другого рівняння перше та виконавши елементарні перетворення, одержимо вираз для модуля крутіння дроту:

. (14)

Підставивши (14) в (13), одержимо вираз для моменту інерції маятника через легко вимірювані величини:

(15)

Остаточна формула для визначення швидкості польоту кулі з урахуванням (12) і (15) набуває вигляду:

. (16)

В цій формулі , і визначаються з досліду, для якого швидкість кулі обчислюється двічі: зі здвинутими вантажами (тоді , , ) та з роздвинутими вантажами (тоді , , ). Для зручності та збільшення точності швидкість кулі можна розрахувати при будь-якому проміжному (але симетричному) розташуванні вантажів-насадок (тоді , і вимірюють під час додаткового експерименту).

Увага: при виконанні цього завдання необхідно виключити можливість попадання кулі в людей, що перебувають у лабораторії!

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.