По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.
Здесь - номер студенческой группы, - номер фамилии студента в журнале.
11,70
12,90
10,32
9,50
5,91
11,56
10,81
9,32
13,00
12,90
7,35
11,80
17,00+ /10
14,10
9,74
9,76
6,96
15,05
14,67
9,73+N/10
11,35
10,51
15,95
12,41
13,56
6,68
13,75
16,95
8,81
10,60+N/10
13,90
9,03
7,39
13,85
11,99
6,23
12,56
12,03
12,97
15,95
11,00
7,76
10,48
12,80
12,05
12,33
5,60- /10
8,80
9,85
10,11+ /10
9,75
13,70
12,09
13,40
9,02
6,67
12,37
11,67
12,00
13,60
15,21
9,70
13,70
16,10
13,60
14,40
14,75
8,06
13,01
10,70+N/10
13,57
15,30
12,30
15,85
17,60
11,25
12,75
11,50
12,27
11,50
9,21
10,79
11,11
12,31
16,80
16,20
10,36
6,86
12,90
8,64+(N+ )/10
14,90
16,00
12,00
12,31
9,35
16,60
15,67
15,33
8,69+ /10
12,07
Пример вычисления для студента с параметрами =0, =0.
Решение.
11,70
12,90
10,32
9,50
5,91
11,56
10,81
9,32
13,00
12,90
7,35
11,80
17,00
14,10
9,74
9,76
6,96
15,05
14,67
9,73
11,35
10,51
15,95
12,41
13,56
6,68
13,75
16,95
8,81
10,60
13,90
9,03
7,39
13,85
11,99
6,23
12,56
12,03
12,97
15,95
11,00
7,76
10,48
12,80
12,05
12,33
5,60
8,80
9,85
10,11
9,75
13,70
12,09
13,40
9,02
6,67
12,37
11,67
12,00
13,60
15,21
9,70
13,70
16,10
13,60
14,40
14,75
8,06
13,01
10,70
13,57
15,30
12,30
15,85
17,60
11,25
12,75
11,50
12,27
11,50
9,21
10,79
11,11
12,31
16,80
16,20
10,36
6,86
12,90
8,64
14,90
16,00
12,00
12,31
9,35
16,60
15,67
15,33
8,69
12,07
Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.
5,60
8,06
9,50
10,48
11,50
12,05
12,56
13,56
14,40
15,95
5,91
8,64
9,70
10,51
11,50
12,07
12,75
13,57
14,67
15,95
6,23
8,69
9,73
10,60
11,56
12,09
12,80
13,60
14,75
16,00
6,67
8,80
9,74
10,70
11,67
12,27
12,90
13,60
14,90
16,10
6,68
8,81
9,75
10,79
11,70
12,30
12,90
13,70
15,05
16,20
6,86
9,02
9,76
10,81
11,80
12,31
12,90
13,70
15,21
16,60
6,96
9,03
9,85
11,00
11,99
12,31
12,97
13,75
15,30
16,80
7,35
9,21
10,11
11,11
12,00
12,33
13,00
13,85
15,33
16,95
7,39
9,32
10,32
11,25
12,00
12,37
13,01
13,90
15,67
17,00
7,76
9,35
10,36
11,35
12,03
12,41
13,40
14,10
15,85
17,60
1) находим размах выборки:
,
2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:
,
3) находим величину классового интервала:
,
4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:
,
,
и так далее,
,
и так далее.
5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:
Границы
интервалов
Середина
интервала
Эмпирическая
частота
4,815
6,385
5,600
6,385
7,956
7,171
7,956
9,527
8,741
9,527
11,097
10,312
11,097
12,668
11,883
12,668
14,239
13,453
14,239
15,809
15,024
15,809
17,380
16,595
17,380
18,951
18,165
Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:
, .
Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:
Границы
интервалов
Границы
интервалов
-
-
4,815
6,385
-
-5,497
-1,921
-0,5
-0,4726
0,0274
2,74
6,385
7,956
-5,497
-3,927
-1,921
-1,372
-0,4726
-0,4147
0,0579
5,79
7,956
9,527
-3,927
-2,356
-1,372
-0,823
-0,4147
-0,2939
0,1208
12,08
9,527
11,097
-2,356
-0,785
-0,823
-0,274
-0,2939
-0,1064
0,1875
18,75
11,097
12,668
-0,785
0,785
-0,274
0,274
-0,1064
0,1064
0,2128
21,28
12,668
14,239
0,785
2,356
0,274
0,823
0,1064
0,2939
0,1875
18,75
14,239
15,809
2,356
3,923
0,823
1,372
0,2939
0,4147
0,1208
12,08
15,809
17,380
3,923
5,497
1,372
1,921
0,4147
0,4726
0,0579
5,79
17,380
18,951
5,497
-
1,921
0,4726
0,5
0,0274
2,74
Найдём наблюдаемые значения и .
2,74
0,03
0,0274
0,03
0,0274
0,0026
0,0247
5,79
0,07
0,0579
0,10
0,0853
0,0147
0,2529
12,08
0,11
0,1208
0,21
0,2061
0,0039
0,0966
18,75
0,16
0,1875
0,37
0,3936
0,0236
0,4033
21,28
0,24
0,2128
0,61
0,6064
0,0036
0,3477
18,75
0,19
0,1875
0,80
0,7939
0,0061
0,0033
12,08
0,09
0,1208
0,89
0,9147
0,0247
0,7853
5,79
0,10
0,0579
0,99
0,9726
0,0174
3,0612
2,74
0,01
0,0274
1,00
1,00
1,1050
=
=0,0247
=0,247
=
=6,080
Критические значения находим в соответствующих таблицах:
= , так как 6,08< , то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично
, так как < , то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.
Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.
-6,283
118,428
-744,083
4675,073
-4,712
155,421
-732,344
3450,805
-3,142
108,59
-341,19
1072,019
-1,571
39,489
-62,037
97,46
1,57
46,833
73,528
115,439
3,141
88,793
278,899
876,022
4,172
222,029
1046,201
4929,699
6,282
39,476
247,988
1557,861
8,19
-2,33
167,744
11,883
8,274
2,876
-0,0979
-0,548
12,064
11,948
Найдём доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .
Рис.:
, где ,
,
Найдём доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .
, где , ,
,
,
.
Тема №4 «Корреляционно-регрессионный анализ»
Найти выборочный коэффициент корреляции и составить выборочные уравнения прямых линий регрессии на и на по данным корреляционной таблицы:
Значения , , и найти по формулам:
, ,
, ,
= ,
= ,
где – номер студенческой группы, – порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.
Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.
По формулам вычисляем недостающие элементы.
Вычислим выборочные средние, средние квадратов, среднее произведения и и среднеквадратические отклонения:
,
= ,
,
,
,
,
.
Тогда ,
,
.
Выборочное уравнение линейной регрессии на . В нашем случае .
Выборочное уравнение линейной регрессии на . В нашем случае .