Тема №8 «Непрерывные случайные величины»

Цель: познакомиться с понятием непрерывной случайной величины, научиться находить плотность и функцию распределения непрерывной случайной величины, её основные характеристики.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения .

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1) ,

2) ,

3) ,

4) - условие нормировки,

5) F(x)= .

M(Х)= - математическое ожидание непрерывной случайной величины,

D(Х)= - дисперсия непрерывной случайной величины.

Модой Мо непрерывной случайной величины называется значение, для которого плотность вероятности достигает максимума.

Медианой Ме непрерывной случайной величины называется значение, для которого .

Пример. Случайная величина имеет плотность распределения вероятности

Требуется:

а) найти постоянную ,

б) найти функцию распределения F(x),

в) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р( ),

д) найти параметры распределения.

Решение: а) используем свойство плотности распределения :

а=1, следовательно =2.

б) при х≤0 F(х)= ,

при 0<х≤1 F(x)= ,

при х>1 F(x)= , то есть

в)

г) Р( )= ,

д) М(Х)= = ,

М(Х²)= ,

D(X)= М(Х²)- М²(Х)= ,

.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

F(x)= .

Решение. Найдем плотность распределения:

f(x)=F^’(x)= .

M(Х) = ,

Найдем искомую дисперсию D(x)= = .

Контрольные вопросы:

1. Непрерывная случайная величина.

2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины.

3. Свойства плотности распределения вероятностей.

4. Условие нормировки.

5. Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины.

6. Основные характеристики непрерывной случайной величины.

Контрольные задания:

1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

.

Требуется:

а) найти постоянную ,

б) найти плотность распределения f(x),

в) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р(1,5<Х<2),

д) найти параметры распределения.

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности

.

а) найти функцию распределения F(x),

б) построить графики f(x) и F(x),

в) найти Р( ),

г) найти параметры распределения.

Задания для домашней работы:

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

.

Требуется:

а) найти плотность распределения f(x),

б) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р(0,25<Х<0,5),

д) найти параметры распределения.

Поиск по сайту: