Докажите формулу распределения ускорений точек плоской фигуры

Пусть плоская фигура (S) движется относительно неподвижной системы координат Оху. В этой системе положения полюса А и произвольной точки В определяются соответственно радиус-векторами и .

Скорость произвольной точки В можно определить с помощью формулы распределения скоростей

(1), где радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку В. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим: (1).

Здесь , , т.е. соответственно равны ускорениям полюса А и точки В. Производная есть вектор углового ускорения фигуры, направленный (как и ) перпендикулярно к плоскости фигуры. Кроме того, согласно формуле дифференцирования вектора, постоянного по модулю: , тогда:

Учитывая, что и , получим: .

В результате равенство (1) окончательно можно записать так: .

Введём обозначения: и (2).

Векторы и представляют те касательное и нормальное ускорения, которые имела бы точка В, если бы фигура (S) совершала только вращение вокруг полюса А. Пользуясь правилом составления векторного произведения, легко убедиться, что имеет направление, совпадающее с вектором (от точки к полюсу), а = перпендикулярно .

Модули этих векторов определяются так: , .

Используя обозначения (2), окончательно находим формулу распределения ускорений:

, или , где .

Таким образом, ускорение любой точки В плоской фигуры в каждый данный момент равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольного полюса А и ускорения точки В в её вращательном движении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса.

1. Дайте определения мгновенного центра ускорений. Как определить его положение? Как определяются ускорения точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

При непоступательном движении плоской фигуры в её плоскости, на фигуре (или на вязанной с ней подвижной плоскостью) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений.

Если известно ускорение какой-либо точки А плоской фигуры, а также её угловая скорость и угловое ускорение. Тогда положение мгновенного центра ускорений определяется следующим образом:

1. Находим значение угла из формулы: .

2. Из точки А, ускорение которой известно, под углом к вектору проводим полупрямую AN, которая должна быть отклонена от на угол в сторону вращения фигуры, если вращение ускоренное, и против вращения, если оно является замедленным, то есть в строну направления углового ускорения , показанного на рисунку дуговой стрелкой.

3. На полученной полупрямой AN отложим отрезок . Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений.

Если точку Q выбрать за полюс, то, поскольку , ускорение любой точки М плоской фигуры, согласно формуле , будет равно ускорению точки М во вращательном движении этой точки вокруг мгновенного центра ускорений, то есть: . Модуль ускорения точки М будет равен . Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение было вращательным вокруг мгновенного центра ускорений. При этом выполняются следующие условия: .

Поиск по сайту: