Обычно на практике механическое движение какого-то тела могут изучать несколько наблюдателей, находящихся в различных системах отсчета. В связи с этим возникает необходимость в сравнении результатов, полученных в различных системах отсчета. И, кроме того, от выбора системы отсчета зависит объем вычислений при решении практических задач. Заметим, что ниже приведенные соотношения справедливы для скоростей движения значительно меньших скорости света в вакууме ( ).
Постановка задачи. Имеются две произвольные системы отсчета и , движущиеся относительно друг друга. Известны скорость и ускорение точки в системе. Каковы значения величин и в системе.
Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.
1. система движется поступательно по отношению системе.Пусть положение движущейся точки в системе определяется радиус–вектором , а в системе –– радиус–вектором (см. рис. 1.7). система движется поступательно относительно системы. Положение начала отсчета системы (точка ) определяет радиус–вектор .
Очевидно что, векторы и связаны соотношением:
. (1.41)
Для бесконечно малых перемещений и точки соответственно в исистемах справедлива формула:
. (1.42)
Скорости точки ( и ) в исистемах связаны соотношением:
, (1.43)
где скорость системы относительно системы.
Для ускорений имеем равенство:
, (1.44)
где ускорение точки в исистемах соответственно, ускорение системы относительно системы.
Из соотношений (1.42)––(1.44) следует, что в перемещение, скорость и ускорение точки зависит от выбора системы отсчета, т.е. не являются инвариантными величинами для различных систем отсчета.
В том случае, когда система движется поступательно с постоянной скоростью ( ), ее ускорение , и, следовательно, имеем равенство:
. (1.45)
В этом случае ускорением точки постоянно в исистемах. Это означает то, что в инерциальных системах[2] отсчета ускорение является инвариантной величиной.
2. система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе.[3]Совместим исистемы, начало отсчета возьмем на оси вращения. В этом случае в начальный момент времени радиус–вектор точки можно выбрать одинаковым в исистемах ( ). Пусть и скорости точки в исистемах, тогда перемещение этой точки в системе равно , а перемещение системы относительно –– (см. рис. 1.8). При этом угол поворота системы за время равен .
Перемещение точки в системе равно
. (1.46)
Соотношение для скоростей и в исистемах имеет вид
. (1.47)
Ускорения и в исистемах связаны соотношением:
. (1.48)
Второе слагаемое в равенстве (1.48) называют кориолисовым ускорением, а третье слагаемое –– осестремительным ускорением:
, . (1.49)
Пусть вектор, проведенный в точку перпендикулярно оси вращения, тогда равенство (1.48) примет вид
. (1.50)
Для определения направления вектора используют равенство (1.49) и правило буравчика, осестремительное ускорение направлено против вектора к оси вращения системы.
3. система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно системы.[4]
Пусть скорость поступательного движения точки , являющейся точкой отсчета системы, а вектор угловой скорости вращения системы. Этот случай объединяет два предыдущих.
Для векторов скорости и точки в и системах справедлива формула:
. (1.51)
где все обозначения описаны ранее в пункте 2.
Ускорения точки в и системах ( , ) удовлетворяют следующему соотношению:
. (1.52)
Следует заметить, что все обозначения величин, входящих в соотношения (1.51)–(1.52), описаны ранее в пункте 2.
Примеры решения задач
Задача №1. По шоссе со скоростью движется автобус. Человек находится на расстоянии от шоссе и от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказаться в некоторой точке шоссе одновременно с автобусом, если он может бежать со скоростью ?
Решение. Автобус и человек совершают поступательные движения, поэтому рассмотрим движения некоторой точки автобуса и человека. Изобразим рисунок для данной задачи. В качестве системы выберем систему, связанную с поверхностью Земли, а систему закрепим с выбранной точкой автобуса. В данной системе отсчета автобус является неподвижным телом, а человек движется со скоростью . Причем, если человек хочет встретиться с автобусом, то его траектория в этой системе отсчета должна быть направлена на автобус, т.е. от точки B к точке А. Поскольку скорость в прямолинейном движении направлена по траектории, то вектор выбранной скорости человека относительно автобуса должен быть направлен от точки B к А.
Изобразим вектор на рисунке. Согласно закону сложения скоростей (1.43) скорость человека и в и системах связаны соотношением:
(1)
Из соотношения (1) следует, что вектор скорости человека относительно земли должен быть направлен так, чтобы сумма векторов скоростей человека относительно автобуса и автобуса относительно Земли , равнялась бы вектору .
Сложим векторы и по правилу треугольника, получим вектор . Обозначим угол между вектором и отрезком АВ через . Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Используя основное свойство векторных равенств, запишем равенство для проекций векторов , и на ось OY, получим следующее равенство:
. (2)
Из треугольника АВС находим .
(3)
Заменив в формуле (2) выражением, приведенным в соотношении (3), получим формулу для вычисления угла между направлением вектора скорости человека относительно земли и отрезком АВ:
(4)
Подставим численные значения величин, входящих в формулу (4), получим величину угла :
Ответ: Человек должен бежать под углом 300 к отрезку, соединяющего его начальное положение и начальное положение автобуса.
Задача №2. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой скоростью с промежутком времени . Через какое время после начала движения второго тела и на какой высоте встретятся тела?
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось OY была направлена вертикально вверх, начало координат совместим с поверхностью Земли. Координату точки бросания обозначим . Изобразим в системе координат векторы начальной скорости и ускорения свободного падения. Возьмем два секундомера, первый секундомер включим в момент броска первого тела, второй секундомер — в момент броска второго тела. Показания первого секундомера обозначим через , а второго — через . Запишем уравнения движения тел в выбранных системах отсчета времени:
Приведем данные уравнения движения в единую систему отсчета времени. Требуется найти момент встречи по второму секундомеру. Поэтому в уравнение движения первого тела вместо подставим , получим следующие уравнения:
В момент встречи координаты тел совпадают, и, следовательно, приравняв правые части уравнений движения тел, получим уравнение для определения момента встречи:
Решив данное уравнение, находим время встречи:
Зная время встречи, из уравнения движения второго тела находим координату встречи:
Это значит, что координата точки встречи тел расположена на высоте 19,3 м выше точки бросания тел.
Ответ: , .
Задача №3. Радиус–вектор движущейся частицы изменяется со временем по закону: , где единичные векторы декартовой системы координат. Найти: а) вектор скорости и вектор ускорения частицы; б) модуль скорости в момент времени ; в) модуль вектора перемещения за время , г) уравнение траектории частицы в декартовой системе координат; д) величину тангенциального ускорения в момент времени е) приближенное значение длины пути , пройденного частицей за 11–ю секунду движения.
Решение. а) В данной задаче движение частицы описывается векторным уравнением. Найдем вектор скорости как производную от радиус–вектора движущейся частицы по времени (см. 1.4):
. (1)
Из данного соотношения видно, что проекция вектора скорости на ось OZ равна нулю , следовательно, частица движется в плоскости XOY.
Вектор ускорения находим дифференцированием выражения для вектора скорости по времени:
. (2)
Из данного соотношение видно, вектор ускорения имеет ненулевую проекцию только по оси OX, и, кроме того, эта проекция не зависит от времени. Делаем вывод о том, что частица движется с постоянным ускорением, направленным по оси OX.
б) В нашей задаче проекции вектора скорости на оси координат равны (см. 1): . Для определения модуля вектора скорости в момент времени используем соотношение (1.12):
. (3)
При величина скорости равна .
в) Для вектора перемещения справедлива формула:
, (4)
где соответственно радиус–векторы в момент времени и в начальный момент времени.
При вектор перемещения равен
. (5)
Находим вектор перемещения :
. (6)
При вектор перемещения равен
. (7)
Модуль вектора перемещения находим по формуле:
. (8)
г) Из уравнения движения находим зависимости координат частицы от времени:
. (9)
Эти соотношения определяют траекторию, заданную в параметрическом виде. Выразив время из второго равенства, и, подставив в первое равенство, получим уравнение траектории в явном виде:
. (10)
Очевидно, что траекторией частицы является парабола, лежащая в плоскости параллельной плоскости XOY и пересекающей ось OZ в точке с координатой .
д) В начале определим угол между вектором скорости и вектором полного ускорения частицы по формуле (см. приложение):
. (11)
Для тангенциального ускорения имеем равенство:
. (12)
C учетом того, что и , равенство (12) примет вид
. (13)
При величина тангенциального ускорения равна:
. (14)
е) Приближенное значение пути, пройденного частицей за 11–ю секунду можно найти как длину отрезка между точками, в которых она находим в моменты времени и . Обозначим через координаты точки при , а координаты точки при , тогда для пройденного пути имеем приближенное равенство:
. (15)
Из уравнения движения находим координаты ( ), ( ), и, подставив их в соотношение (15), будем иметь:
. (16)
Заметим, что точное значение пройденного пути для плоской траектории частицы можно найти из известной математической формулы:
, (17)
где абсцисса конечной и начальной точки соответственно, производная, вычисляемая из уравнения траектории.
Ответ: а) , ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Задача №4. Тело, брошено с балкона вертикально вверх со скоростью . Высота балкона над поверхностью земли . Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость движения тела с момента бросания до момента падения на землю.
Решение. Пренебрегаем размерами тела, т.е. его движение рассматриваем как движение точки. Для решения задачи возьмем ось OY и направим ее перпендикулярно поверхности земли, начало отсчета (точка О) выберем на ее поверхности. Запишем общую зависимость для координат от времени:
. (1)
Из рисунка определяем начальные параметры
. (2)
С учетом начальных условий (2) уравнение движения для данной задачи примет вид
. (3)
Определим максимальную координату при движении тела вверх по оси OY, для этого найдем производную от правой части соотношения (3), и, приравняв полученное соотношение к нулю, получим следующее уравнение:
. (4)
Из уравнения (4), находим момент времени, когда тело достигает максимальной высоты подъема. Затем определяем максимальную координату
. (5)
Найдем время полета тела , для этого используем тот факт, что в момент приземления координата точки равна нулю:
. (6)
Решим полученное квадратное уравнение (6), получим следующие корни:
. (7)
Второй корень не удовлетворяет условию задачи, потому что его величина отрицательная ( ). Имеем время полеты тела:
. (8)
Согласно определению величина средней путевой скорости равна:
, (9)
где путь, пройденный телом за все время полета, путь, пройденный до верхней точки траектории, путь, пройденный после верхней точки траектории до падения на землю.
Из рисунка видно, что для величин и выполняются следующие равенства:
. (10)
С учетом равенств (8) и (10) равенство (9) примет следующий вид:
. (11)
Найдем величину средней путевой скорости, для чего в равенство (11) подставляем численные значения величин
.
Ответ: , .
Задача №5. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Определить: а) величину скорости; б) нормальное ускорение; в) тангенциальное ускорение; г) радиус кривизны траектории через после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. В данной задаче пренебрегаем размерами тела. Рассматриваем его движение как движение точки с постоянным ускорением, равным . Записываем зависимости проекций вектора скорости от времени на оси декартовой системы координат
. (1)
Из рисунка видно, что
(2)
С учетом полученных соотношений (2) равенства (1) примут вид
(3)
Величина вектора скорости связана с проекциями соотношением
(4)
Из соотношений (3) вместо проекций и подставляем в равенство (4), имеем следующее соотношение:
. (5)
Из формулы (5) находим величину вектора скорости при :
.
Из рисунка видно, что величины нормального ускорения и ускорения свободного падения связаны соотношением
, (6)
где .
Находим величину нормального ускорения в момент времени
.
Тангенциальное ускорение при вычислим по формуле
.
Радиус кривизны траектории в момент времени связан с величинами скорости и нормального ускорения соотношением:
.
Откуда .
Ответ: , , , .
Задача №6. Из миномета ведут обстрел объекта, расположенного выше по склону на расстоянии . Угол наклона горы . Мины вылетают из миномета под углом . Определить начальную скорость мин и наибольшее удаление мин от поверхности горы.
Решение. Для определения начальной скорости мины удобно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси лежали в плоскости траектории полета мин. Ось ОХ1 направим горизонтально, а ось OY1 вертикально вверх. Начало координат совмести с точкой, откуда производят выстрел. Определим начальные координаты мины, проекции ее начальной скорости и вектора ускорения на оси координат:
Запишем уравнения движения мины в данной системе координат:
Определим координаты точки приземления мины:
Подставим координаты точки приземления в уравнения движения, получим систему уравнений, позволяющую определить начальную скорость мины:
Из первого уравнения находим время и подставляем во второе уравнение, получим уравнение для определения начальной скорости:
.
Решив данное уравнение, получим формулу для вычисления начальной скорости полета мин:
.
Подставляя численные значения величин, входящих в последнюю формулу, получим величину начальной скорости мин.
Выберем новую систему координат, так как в системе координат X1OY1 определение максимального удаления сопряжено с огромными трудностями. Предоставляем проверить данный факт читателю самостоятельно. Возьмем систему координат XOY (см. рис.), оси координат которой расположим в плоскости траектории полета мины, а начало координат совместим с точкой старта. Ось ОХ направим вдоль склона горы, а ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Определим начальные координаты мины, проекции ее начальной скорости и вектора ускорения на оси координат.
Запишем уравнения движения мины и зависимость проекции ее скорости на ось OY в данной системе координат:
В момент максимального удаления мины от поверхности горы, ее скорость обязательно должна быть направлена параллельно поверхности горы (см. рис.). В противном случае, мы будет иметь ненулевую проекцию вектора скорости мины на ось OY, т.е. мина будет либо удаляться от поверхности горы, либо приближаться к поверхности. Поэтому в момент максимального удаления мины от поверхности горы проекция вектора скорости на ось OY будет равна нулю, т.е. . Подставив данное значение проекции вектора скорости в последнее соотношение, получим значение времени, когда мина находится на максимальном удалении от поверхности горы:
Поставив полученное значение времени в уравнение движения мины по оси OY, получим ее координату y в этот момент. Это значение координаты будет являться максимальным расстоянием от мины до поверхности горы:
Подставив численные значения величин, входящих в последнюю формулу, получим величину наибольшего удаления мины от поверхности горы:
Ответ: , .
Задача №7. Движения точки по окружности радиуса задано уравнением , где дуговая координата, , , . Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени .
Решение. В данной задаче движение точки описывается «естественным» способом. Зная зависимость дуговой координаты , найдем выражение для скорости как производную от этой координаты по времени:
(1).
При имеем .
В данном способе описания движения скорость является алгебраической величиной. Отрицательный ее знак указывает на то, что вектор скорости в данный момент направлен против орта . Вектор направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты .
Тангенциальное ускорение найдем, взяв производную от скорости по времени:
.
Очевидно, что вектор тангенциального ускорения направлен в туже сторону, что и вектор скорости, а именно против орта .
Нормальное ускорение точки связано со скоростью движения точки и радиусом окружности соотношение . Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса окружности и произведем вычисления:
.
Полное ускорение является геометрической суммой векторов и : . Модуль ускорения равен . Подставив в это выражение найденные значения и , получим величину полного ускорения точки:
.
Ответ: , , , .
Задача№8. Диск радиусом вращается согласно уравнению , где , , . Определить угловую скорость, угловое, тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки, находящейся на краю диска, в конце двадцатой секунды его вращения. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости и углового ускорения.
Решение. Находим проекции векторов угловой скорости и углового ускорения из следующих соотношений:
.
Из последнего соотношения видно, что проекция углового ускорения не зависит от времени, следовательно, это движение с постоянным угловым ускорением. Из первого соотношения находим величину проекции угловой скорости через 20 с движения. .
Для построения векторов угла поворота, угловой скорости и углового ускорения выбираем ось OZ, используем при этом правило «буравчика». Учитывая знаки проекций векторов и , изображаем их на рисунке. Поскольку направление векторов и противоположное, делаем вывод о том, что движение точки является равнозамедленным.
Из соотношений (1.35–1.36) находим нормальное, тангенциальное и полное ускорения:
;
;
.
Ответ: ; ; ; ; /
Задача №9*. Частица движется в плоскости с постоянным ускорением , направление которого совпадает с положительным направлением оси . Уравнение траектории имеет вид , где и положительные коэффициенты. Найти скорость частицы в начале координат.
Решение. Траекторией частицы является участок параболы, изобразим ее в декартовой системе координат. Покажем на этом рисунке вектор скорости и вектор ускорения частицы в начале координат. Находим дифференциал от обеих частей уравнения движения частицы
,(1)
где соответственно дифференциалы координат и .
Выразим через проекции вектора скорости на оси координат:
, (2)
где дифференциал времени.
С учетом соотношений (2) равенство (1) примет вид
.(3)
Разделим обе части соотношения (3) на , получим следующую формулу:
.(4)
В начале координат, т.е. при , формула (4) имеет вид
.(5)
Дифференцируем обе части равенства (4) по времени
.(6)
С учетом того, что и , где проекции вектора ускорения на оси координат, равенство (6) примет вид:
. (8)
По условию задачи вектор ускорения частицы направлен по оси , поэтому . С учетом этого, а также при , последнее равенство упрощается
.(9)
Из последнего соотношения находим проекцию вектора скорости на ось в начале координат
.(10)
Учитывая последнее соотношение, из равенства (5) находим проекцию вектора скорости на ось в начале координат:
.(11)
Длина вектора находится через его проекции на оси координат по формуле . Зная проекции вектора скорости на оси (см. (10), (11)), находим величину вектора скорости в начале координат:
.
Ответ: .
Задача №10*. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где – постоянный вектор, – угол поворота тела из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла , если при , она было равна .
Решение. Возьмем прямоугольную декартову систему координат, ось OZ которой совместим с осью вращения. Спроектировав заданное равенство на ось OZ, будем иметь следующее соотношение:
.
Из соотношения (1.28) вместо подставим в предыдущее равенство, получим:
.
При умножении обеих частей данного равенства на бесконечно малую величину угла поворота , получается соотношение:
.
Проинтегрировав обе части равенства, получим требуемую зависимость:
.
Ответ: .
[1] Дуговая координата это пройденный путь точки
[2] Относительное движение инерциальных систем всегда прямолинейное и равномерное