Условие: Квадратная пластина вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону (рад) (положительное направление отсчета угла φ показано на рис. 68 дуговой стрелкой). По диагонали пластины движется точка М по закону , положительное направление отсчета s – от А к D. расстояние от вершины квадрата B до оси вращения O равно . Сторона квадрата равна . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени t1=1 (с).
Дано: , (рад), .
Найти: , при t1=1 (с).
Рис. 68. Расчетная схема к примеру 1
Решение. Рассматрим движение точки М как сложное, считая ее движение по диагонали квадрата относительным, а вращение пластины вместе с исследуемой точкой – переносным.
1. Относительное движение. Это движение происходит по закону .
Определим положение точки M в момент времени :
(см).
Знак «минус» говорит о том, что точка М в момент находится по другую сторону от точки А на диагонали прямоугольной пластины.
Определим и точки М по формулам:
.
(см/с).
(см/с2).
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изобразим эти векторы на рис. 68.
2. Переносное движение. Это движение происходит по закону: (рад).
Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения:
; при (рад/с); (рад/с2).
Знаки указывают, что при направление ω и ε совпадают с направлением положительного отсчета угла φ; покажем это на рис. 68.
Для определения и определим расстояние M1О от точки M1 до оси вращения. Из рис. 68 видно, что:
,
где AM1 = s1 = 48 (см), (см).
Тогда (см).
В момент времени получим:
(см/с);
(см/с2); (см/с2).
Изобразим на рис. 68 векторы , с учетом направления ω и ε, вектор направляем к оси вращения вдоль отрезка M1О.
3. Ускорение Кориолиса. Модуль этого ускорения определяется по формуле: , где α – угол между векторами и . В данном случае этот угол равен 90º, т.к. ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени , когда (см/с) и (рад/с), получим:
(см/с2).
Направление найдем по правилу Жуковского: т.к. вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90º в направлении ω, т.е. по ходу часовой стрелки. Изобразим вектор на рис. 68. Иначе направление можно найти, учтя, что .
4. Определение абсолютной скорости . Проведем координатные оси M1xy (рис. 68) и спроецируем обе части векторного равенства на эти оси. Получим для момента времени :
(см/с);
(см/с).
Тогда (см/с).
Учитывая, что в данном случае угол между и равен 135º, значение можно также определить по теореме косинусов:
(см/с)
5. Определим абсолютное ускорение . По теореме о сложении ускорений: .
Для определения спроецируем обе части данного векторного равенства на проведенные оси M1xy, получим:
(см/с2);
(см/с2);
Находим значение абсолютного ускорения:
(см/с2).
Ответ: см/с, см/с2.
Пример 2
Условие: Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону φ = f1(t) (положительное направление отсчета угла φ показано на рис. 69 дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В по закону s = =АВ=f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.
Дано: , (φ – в радианах, s – в сантиметрах, t — в секундах).
Найти: абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t1=2 с.
Решение. Рассмотрим движение точки B как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:
, ,
где .
Определим все входящие в данные равенства величины.
1. Относительное движение. Это движение прямолинейное и происходит по закону:
.
Поэтому
, .
В момент времени t1 = 2 с имеем
см, см/с, см/с2.
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. 69.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону .
Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения:
; и при t1 = 2 с,
с-1; с-2.
Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. 69 соответствующими дуговыми стрелками.
Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z:
см. Тогда в момент t1 = 2 с получим:
см/с,
см/с2, см/с2.
Изобразим на рис. 69 векторы и (с учетом знаков ω и ε) и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В1С к оси вращения.
3. Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t1 = 2 с
см/с2.
Направление найдем по правилу Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону ω, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. 69).
4. Определение абсолютной скорости . Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны, то в момент времени t1 = 2 с м/с.
5. Определение абсолютного ускорения . По теореме о сложении ускорений
.
Для определения проведем координатные оси B1xyz1 и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х, а векторы и расположены в плоскости B1yz1, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части векторного равенства на оси B1xyz1, получим для момента времени t1 = 2 с: