Этот способ используют, когда известна траектория АВ движения точки (рис. 6). Траекторией в данном случае будет геометрическое место последовательных положений движущейся точки по отношению к данной системе отсчета.
На траектории АВ выберем неподвижную точку О, которую примем за начало отчета. С течением времени точка будет занимать положения М, М1, М2, …, определяемые координатами S, S1, S2, и т.д. Следовательно, чтобы знать положение точки на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость: - закон движения точки по траектории.
Таким образом, чтобы задать движение естественным способом необходимо задать:
1) траекторию точки;
2) начало О и направление отсчета положительных и отрицательных дуговых координат S, определяющих положение точки М на траектории (рис. 6);
3) закон движения точки по траектории (как функцию дуговой координаты от времени).
Рис. 6. Естественный способ задания движения точки
При естественном способе задания движение точки рассматривают в естественных осях (осях естественного трехгранника).
Естественные оси координат
(скоростные оси, оси естественного трехгранника)
Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник (рис. 7).
Рис. 7. Оси естественного трехгранника
Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали также, как ось Oz направлена по отношению к осям Ox и Oy в правой системе координатных осей. Единичные векторы-орты этих осей обозначаются соответственно , и .
Естественные оси попарно образуют координатные плоскости (грани естественного трехгранника):
( , ) – соприкасающаяся плоскость,
( , ) – спрямляющая плоскость,
( , ) – нормальная плоскость.
Естественные оси имеют начало в точке M кривой и при движении точки M по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.
Определение скорости точки при естественном способе задания движения
Пусть дана траектория АВ точки М и задан закон движения точки по траектории (рис. 8).
Рис. 8. Определение скорости точки при естественном способе задания движения
Пусть в момент времени t точка занимает положение M, а в момент времени t1=t + Δt – положение M1.
Дуговые координаты этих точек имеют следующие значения: и , где – приращение дуговой координаты.
Проведем из произвольного центра в точку М радиус-вектор, тогда скорость этой точки будет равна:
.
Введем в качестве промежуточной переменной дуговую координату S, от которой, очевидно, зависит радиус-вектор движущейся точки. Таким образом, радиус-вектор является сложной функцией времени: , т.к. .
Тогда скорость точки М равна:
,
где , при вектор (направлен также как и вектор ) стремится к направлению касательной в соответствующей точке в сторону увеличения дуговой координаты. Модуль этого вектора стремится к единице:
.
Следовательно:
Значит, – есть орт касательной. Тогда скорость точки М равна:
.
Алгебраическая величина скорости точки .
Скорость точки определяется производной по времени t от дуговой координаты.
Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения (в сторону возрастания дуговой координаты), если , или в обратную сторону, если .
Вектор кривизны траектории
Возьмем на траектории две точки М и М1 (рис. 9, а) с координатами и .
Покажем орты касательных и в точках М и М1. Модули орт постоянны при перемещении точки по кривой. Следовательно, орт является переменным вектором по направлению.
Определим приращение вектора на участке = . Для этого построим в точке М векторный параллелограмм со сторонами и и диагональю , то есть:
.
Разделим приращение орта на приращение дуговой координаты , получим значение:
– вектор, характеризующий поворот касательной к кривой на некотором участке ММ1, называется вектором средней кривизны кривой на этом участке ММ1 (рис. 9, б).
Направление этого вектора совпадает с направлением вектора приращения орта касательной , т.е. направлен в сторону вогнутости кривой.
Предел, к которому стремиться вектор средней кривизны кривой, когда , называется вектором кривизны кривой в данной точке:
.
Вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате. Определим модуль и направление вектора (рис. 9, б).
а) Построение векторного параллелограмма
б) Построение вектора
Рис. 9. Определение модуля и направления вектора кривизны траектории
Модуль найдем как длину основания равнобедренного треугольника с малым углом при вершине и боковыми сторонами, равными единице. Тогда: .
Из дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла к приращению дуговой координаты при , равен кривизне кривой , где – радиус кривизны кривой в данной точке.
Таким образом:
.
Угол при основании равнобедренного треугольника равен:
.
При углы равнобедренного треугольника будут стремиться: , .
Следовательно, перпендикулярен орту , т.е. направлен по главной нормали, отсюда:
,
Окончательно, вектор кривизны кривой равен произведению орта на кривизну кривой: .
Определение ускорения точки при задании ее движения естественным способом
Вектор скорости точки определяется из выражения .
Вектор ускорения точки равен:
,
или .
Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением точки, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением точки.
– касательное ускорение точки, существующее лишь при неравномерном движении точки и характеризующее изменение модуля скорости точки.
– нормальное ускорение точки, существующее лишь при криволинейном движении точки и характеризующее изменение направления скорости точки.
Модуль касательного ускорения точки равен , т.к. и , то:
, или
,
где знак «плюс», полученный в ответе после вычисления дроби, соответствует ускоренному движению точки, а знак «минус» – замедленному.
Модуль нормального ускорения точки определяется по формуле:
,
Бинормальное ускорение точки всегда равно нулю, т.к. точка всегда находится в соприкасающейся плоскости: .