Координатный способ задания движения

Положение точки по отношению к данной системе отсчета определяется тремя декартовыми координатами x, y, z (рис. 5). При движении точки все три ее координаты будут непрерывно меняться.

Рис. 5. Координатный способ задания движения точки

Чтобы задать закон движения, т.е. положение точки в пространстве в любой момент времени, необходимо определить значения координат для каждого момента времени, т.е. знать зависимости:

, , .

Уравнения движения точки в декартовых координатах отражают закон движения точки при координатном способе задания движения точки. Эти уравнения представляют собой также уравнения траектории точки в параметрической форме. Для того, чтобы найти уравнение траектории в координатной форме, надо исключить время t.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Положение точки определяется радиусом-вектором, связанным с координатами следующей зависимостью:

,

т.к. ; ; , то ,

где , ; , – орты (единичные векторы) осей координат.

Т.к. скорость точки равна первой производной от радиус-вектора, то разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид:

,

иначе скорость точки в данной системе отсчета равна:

,

где - проекции вектора скорости точки на координатные оси x, y, z.

Проекции вектора скорости точки на оси декартовой системы координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:

; ; .

Полный модуль скорости точки равен:

.

Направляющие косинусы, определяющие направление вектора скорости точки в пространстве, вычисляются по формулам:

; ; .

Определение ускорения точки при координатном способе задания движения

Ускорения точки также можно разложить на компоненты:

.

а т.к. ускорение точки равно первой производной скорости точки по времени, то:

.

Проекции ускорения точки на оси декартовой системы координат равны первым производным от проекций скоростей или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:

; ; .

Модуль ускорения точки находится следующим образом:

.

А направляющие косинусы, определяющие направление вектора ускорения точки в пространстве, вычисляются по формулам:

; ; .

Если движение точки задано в декартовых прямоугольных координатах и точка движется, например, в плоскости Oxy, то в этом случае во всех формулах, выражающих скорости и ускорения должна быть отброшена проекция на ось Oz.

Поиск по сайту: