Одержимодиференціальне рівняння вигнутої осі при прямому згинанні (площина дії навантажень збігається з однією з головних осей інерції). Прямолінійна вісь балки під дією зовнішніх навантажень(рис.3.1)перетворюється в плоску гладку криву і називається пружною лінією (вигнутою віссю балки).
Рисунок 3.1
Прогин балки - це переміщення центра ваги перерізу по нормалі до первісної осі. Максимальний прогин називається стрілою прогину і позначається f. Кут повороту перерізу - це поворот перерізу щодо первісного положення.
Тангенс кута нахилу дотичної до вигнутої осі є перша похідна від функції :tg . Для малих кутів (tg ) рівняння кутів повороту можна записати у вигляді: .
Диференціальне рівняння вигнутої осі балки одержимо за допомогою рівняння Навье, у якому кривизна нейтральної осі при згинанні визначається, як: . З іншого боку, з курсу аналітичної геометрії відомо, що кривизна плоскої кривої визначається як: . Дорівнявши праві частини цих двох залежностей, одержимо нелінійне диференціальне рівняння відносно прогину :
(3.1)
Для малих переміщень (у межах пружних деформацій), коли, наприклад, tg , квадратом першої похідної в порівнянні з одиницею можна зневажити. З обліком того, щознаки другої похідної і згинаючого моменту збігаються, одержимо диференціальне рівняння другого порядку, що і називається диференціальним рівнянням вигнутої осі балки для малих переміщень:
. (3.1а)
Послідовно інтегруємо двічі й одержуємо рівняння для кутів повороту та прогинів:
, (3.2)
, (3.3)
де і - довільні постійні інтегрування, що визначаються з граничних умов.
Приклад 1. Розглянемо консольну балку, навантажену на вільному торці зосередженою силою (рис.3.2).
Згинальний момент у перерізі : . Запишемо диференціальне рівняння пружної лінії балки: . Інтегруючи двічі це рівняння, одержимо відповідно до (3.2), (3.3):
Рисунок 3.2
;
.
Запишемо та виконаємо граничні умови. При кут повороту ,тобто , відкіля: . При прогин , тобто: , відкіля: .
З урахуванням значень і рівняння пружної лінії та кутів повороту запишуться як:
; .
Найбільші прогин та кут повороту виникають на початку координат при :
, відкіля: ;
, відкіля: .
При розрахунках на жорсткість максимальні прогини балок повинні зіставлятися з прогином , що допускається . Тоді умова жорсткості при згинанні консольної балки прийме вигляд:
. (3.4)
Звідси визначається осьовий момент інерції , на підставі чого проектуємо переріз. Прогин, що допускається, вибирається в залежності від відповідальності конструкції з діапазону , де - проліт балки.
Безпосереднє інтегрування диференціального рівняння пружної лінії виявляється громіздким навіть у простих випадках. Тому для визначення переміщень у балках більш прийняті енергетичні методи, що приводять до простих залежностей.