Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Переміщення при прямому згинанні. Розрахунки на жорсТкість при згинанні



3.1 Диференціальне рівняння вигнутої осі.

Одержимодиференціальне рівняння вигнутої осі при прямому згинанні (площина дії навантажень збігається з однією з головних осей інерції). Прямолінійна вісь балки під дією зовнішніх навантажень(рис.3.1)перетворюється в плоску гладку криву і називається пружною лінією (вигнутою віссю балки).

Рисунок 3.1

Прогин балки - це переміщення центра ваги перерізу по нормалі до первісної осі. Максимальний прогин називається стрілою прогину і позначається f. Кут повороту перерізу - це поворот перерізу щодо первісного положення.

Тангенс кута нахилу дотичної до вигнутої осі є перша похідна від функції :tg . Для малих кутів (tg ) рівняння кутів повороту можна записати у вигляді: .

Диференціальне рівняння вигнутої осі балки одержимо за допомогою рівняння Навье, у якому кривизна нейтральної осі при згинанні визначається, як: . З іншого боку, з курсу аналітичної геометрії відомо, що кривизна плоскої кривої визначається як: . Дорівнявши праві частини цих двох залежностей, одержимо нелінійне диференціальне рівняння відносно прогину :

(3.1)

Для малих переміщень (у межах пружних деформацій), коли, наприклад, tg , квадратом першої похідної в порівнянні з одиницею можна зневажити. З обліком того, щознаки другої похідної і згинаючого моменту збігаються, одержимо диференціальне рівняння другого порядку, що і називається диференціальним рівнянням вигнутої осі балки для малих переміщень:

. (3.1а)

Послідовно інтегруємо двічі й одержуємо рівняння для кутів повороту та прогинів:

, (3.2)

, (3.3)

де і - довільні постійні інтегрування, що визначаються з граничних умов.

Приклад 1. Розглянемо консольну балку, навантажену на вільному торці зосередженою силою (рис.3.2).

Згинальний момент у перерізі : . Запишемо диференціальне рівняння пружної лінії балки: . Інтегруючи двічі це рівняння, одержимо відповідно до (3.2), (3.3):

 

Рисунок 3.2

 

;

.

Запишемо та виконаємо граничні умови. При кут повороту ,тобто , відкіля: . При прогин , тобто: , відкіля: .

З урахуванням значень і рівняння пружної лінії та кутів повороту запишуться як:

; .

Найбільші прогин та кут повороту виникають на початку координат при :

, відкіля: ;

, відкіля: .

При розрахунках на жорсткість максимальні прогини балок повинні зіставлятися з прогином , що допускається . Тоді умова жорсткості при згинанні консольної балки прийме вигляд:

. (3.4)

Звідси визначається осьовий момент інерції , на підставі чого проектуємо переріз. Прогин, що допускається, вибирається в залежності від відповідальності конструкції з діапазону , де - проліт балки.

Безпосереднє інтегрування диференціального рівняння пружної лінії виявляється громіздким навіть у простих випадках. Тому для визначення переміщень у балках більш прийняті енергетичні методи, що приводять до простих залежностей.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.