Практическая часть контрольной работы

Задание для контрольной работы.

Рассчитать линейную модель вида

по данным представленным в табл. 5.1

Таблица 5.1

	+	-	-	-	+	33.8	31.0	31.5
	+	+	-	-	-	16.0	14.8	15.0
	+	-	+	-	-	38.4	35.1	36.2
	+	+	+	-	+	29.0	26.4	27.1
	+	-	-	+	+	29.2	26.5	27.0
	+	+	-	+	-	4.9	4.6	4.8
	+	-	+	+	-	36.8	34.2	34.8
	+	+	+	+	+	21.1	19.3	19.5

При расчете линейной модели вида

необходимо:

1. С помощью критерия Стьюдента проверить сомнительные опыты.

2. Определить коэффициенты модели или

3. Произвести проверку однородности дисперсий с помощью критерия Фишера или Кохрена . Найти дисперсию воспроизводимости.

4. Оценить адекватность полученной модели.

5. В случае, если модель оказалась адекватной, определить значимые коэффициенты.

Решение.

1.Определим коэффициенты модели . Для этого найдем среднее арифметическое из параллельных опытов:

,

. Аналогично найдем остальные значения и полученные результаты запишем в таблицу 5.2.

Таблица 5.2

№ опыта
	33.8	31.0	31.5	32,1
	16.0	14.8	15.0	15,2666
	38.4	35.1	36.2	36,5666
	29.0	26.4	27.1	27,5
	29.2	26.5	27.0	27,5666
	4.9	4.6	4.8	4,7666
	36.8	34.2	34.8	35,2666
	21.1	19.3	19.5	19,9666

Найдем коэффициенты модели

2. С помощью критерия Стьюдента проверим сомнительные опыты. Для этого исключим первый параллельный опыт из расчета и найдем среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение (СКО) по остальным 2 параллельным опытам:

Найдем дисперсии каждого опыта:

,

где - число степеней свободы.

Произведем проверку по критерию

дента:

Проверим таким же образом все другие опыты, результаты занесем в таблицу 5.3.

Таблица 5.3

№ опыта
	33.8	31.0	31.5	31,25	0,3536	7,212
	16.0	14.8	15.0	14,9	0,1414	7,7793
	38.4	35.1	36.2	35,65	0,8062	3,411
	29.0	26.4	27.1	26,75	0,5	2,7907
	29.2	26.5	27.0	26,55	0,0707	37,4823
	4.9	4.6	4.8	4,7	0,1414	1,4144
	36.8	34.2	34.8	34,5	0,4242	5,422
	21.1	19.3	19.5	19,4	0,1414	12,0226

Из таблицы Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р = 0,95 находим и сравниваем с .

, поэтому результат 5-го опыта можно считать браком.

Определим новое значение 5-го опыта для :

Получим новую матрицу планирования эксперимента (таблица 5.4).

Таблица 5.4.

№ опыта
	+	-	-	-	+	33.8	31.0	31.5
	+	+	-	-	-	16.0	14.8	15.0
	+	-	+	-	-	38.4	35.1	36.2
	+	+	+	-	+	29.0	26.4	27.1
	+	-	-	+	+	26,75	26.5	27.0
	+	+	-	+	-	4.9	4.6	4.8
	+	-	+	+	-	36.8	34.2	34.8
	+	+	+	+	+	21.1	19.3	19.5

Таблица 5.5

№ опыта
	33.8	31.0	31.5	32,1
	16.0	14.8	15.0	15,2666
	38.4	35.1	36.2	36,5666
	29.0	26.4	27.1	27,5
	26,75	26.5	27.0	27,5
	4.9	4.6	4.8	4,7666
	36.8	34.2	34.8	35,2666
	21.1	19.3	19.5	19,9666

Для новой матрицы найдем коэффициенты модели .

Уравнение регрессии примет вид:

3. Произведем проверку однородности дисперсий с помощью критерия Кохрена. Найдем дисперсию воспроизводимости.

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одина­ковое число повторных опытов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы

Аналогично вычислим дисперсии для всех горизонтальных строк и занесем результаты в таблицу 5.6.

Таблица 5.6

№ опыта
	33.8	31.0	31.5	32,1
	16.0	14.8	15.0	15,2666	0,8044
	38.4	35.1	36.2	36,5666	2,8233
	29.0	26.4	27.1	27,5	1,81
	26,75	26.5	27.0	27,5	1,8125
	4.9	4.6	4.8	4,7666	0,0395
	36.8	34.2	34.8	35,2666	1,853
	21.1	19.3	19.5	19,9666	0,8976

Вычислим экспериментальный критерий Кохрена по формуле:

Это соотношение называется расчетным значением критерия Кохрена. Оно соответствуют доверительной вероятности p = 0,95 и сравнивается с табличным значением критерия Кохрена. Величина (1 – p) называется уровнем значимости. Для нахождения табличного значения критерия Кохрена G необходимо знать общее количество оценок дисперсий N (в нашем случае 8) и число степеней свободы f , связанных с каждой из них, причем f = k – 1 (в нашем случае 2, k – это количество Y).

Табличный критерий Кохрена равен . , следовательно, опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий однородными.

Дисперсия воспроизводимости будет равна:

4. Оценим адекватность полученной модели.

Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, то есть дисперсии адекватности .

,

где - число опытов (МПЭ – матрица планирования эксперимента),

- число коэффициентов модели (коэффициентов линейного уравнения).

- разность между реальным значением и предсказанным по модели.

Вычислим значения, предсказанные по модели:

аналогично вычислим эти значения для остальных строк и результаты запишем в таблицу 5.7.

Таблица 5.7

№ опыта
	33.8	31.0	31.5	32,1	27,4159
	16.0	14.8	15.0	15,2666	18,1325
	38.4	35.1	36.2	36,5666	34,0325
	29.0	26.4	27.1	27,5	31,8495
	26,75	26.5	27.0	27,5	21,6827
	4.9	4.6	4.8	4,7666	12,3993
	36.8	34.2	34.8	35,2666	28,2993
	21.1	19.3	19.5	19,9666	26,1163

Определим экспериментальный F критерий Фишера по формуле:

,

Табличное значение F-критерия Фишера находится на пересечении столбца со степенью свободы f₁ = N – d (N – число опытов, d – число искомых коэффициентов регрессии) и строки, соответствующей степени свободы S²{y} (для эксперимента 2^5-1f₂ = 16).

, следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной.

5. Проверку значимости коэффициентов проводить нецелесообразно.

Вывод.

Линейная модель будет иметь вид:

Модель неадекватна и проверку значимости коэффициентов проводить было нецелесообразно.

Список использованной литературы.

Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. – М: Московский психолого-социальный институт, издательство «Флинта», 2003

Основы конструирования и надежности электронных средств:

Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб: СЗТУ, 2003

Ресурс Интернет

Appmath.narod.ru – Теория Планирования Эксперимента

Авдеев О.Н., Мотайленко Л.В. Моделирование систем. Методическое пособие. – СПб: СПбГТУ, 2001

Поиск по сайту: