Графоаналитический метод кинематического анализа

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ

Цели и задачи кинематического анализа

Синтез механизма – проектирование – имеет значительные трудности теоретического характера, поэтому при выполнении прикладных инженерных задач менее распространен, чем анализ.

Анализ механизма – исследование его основных параметров с целью изучения законов изменения и на основе этого выбор из ряда известных наилучшего механизма. По сравнению с синтезом анализ механизма широко используется в практике.

Цели:

1. Определение кинематических характеристик звеньев: перемещение; скорость; ускорение; траектория движения; функция положения при известных законах движения входных (ведущих) звеньев.

2. Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного) звена.

3. Определение необходимых численных данных для проведения силового, динамического, энергетического и других расчётов механизма.

Задачи:

о положениях звеньев механизма. Определение траекторий движения точек;

о скоростях звеньев или отдельных точек механизма;

об ускорениях звеньев или отдельных точек механизма.

Методы:

графический (или метод графиков и диаграмм);

графоаналитический (или метод планов скоростей и ускорений);

аналитический;

экспериментальный.

Графический метод кинематического анализа

Преимущество этого метода заключается в наглядности и простоте. Он хорош для кинематического анализа звеньев, совершающих возвратно-поступательное движение. Недостаток метода – невысокая точность, которая зависит от точности графических построений.

Задача о положениях решается построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин при различных последовательных положениях ведущего звена.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением графиков (диаграмм) перемещений, скоростей и ускорений исследуемой точки.

Последовательность кинематического анализа:

1. Сначала строят несколько (чаще всего 12 и более) совмёщенных планов механизма в произвольно выбранном масштабе длин.

2. Затем строят график пути (перемещения) исследуемой точки или звена, для чего используют совмещённые планы механизма и последовательные положения на них исследуемой точки или звена.

3. Графическим дифференцированием графика перемещений строят график скорости исследуемой точки.

4. Графическим дифференцированием графика скоростей строят график ускорений.

Графическое дифференцирование можно производить методом хорд и методом касательных. С целью повышения точности удобно использовать оба метода одновременно.

Пример

Даны кривошипно-ползунный механизм, длины звеньев которого – кривошипа и шатуна – L_OA и L_AB соответственно, и угловая скорость кривошипа w₁ = const.

Определитьскорости и ускорения ползуна при различных положениях кривошипа.

Решение

Выбираем масштабы длин , м/мм, где AO – длина отрезка, мм, изображающая кривошип длиной L_ОА на строящемся плане механизма; эта длина выбирается произвольно с учётом того, что совмещённые планы механизма должны разместиться на отведённом месте чертежа, а сам масштаб длин был бы удобен для дальнейших расчётов.

Вычисляем длину отрезка , мм, изображающего шатун на плане механизма. При построении совмещенных планов механизма используют метод засечек (рис. 2.1).

Для построения графиков скоростей и ускорений (рис. 2.1) выбираются полюсные расстояния h_u и h_a, где h_u – полюсное расстояние при построении графика скоростей, которое выбирается произвольной длины; рекомендуется его величину выбирать в пределах h_u » 30…40 мм; h_a – полюсное расстояние при построении графика ускорений; его рекомендуется принимать в пределах h_a »30…40 мм.

Масштабы времени, скорости и ускорения вычисляют по формулам, вывод которых приводится ниже.

Масштаб времени можно вычислить по формуле

,

где Т – период одного оборота кривошипа, с; L_X – длина отрезка между точками 1 и 1 на графике (диаграмме) перемещений, мм.

Так как период Т можно вычислить по формулам

, или , с,

где ω₁ – угловая скорость кривошипа, 1/с; n₁ – частота вращения кривошипа, об/мин, то масштаб времени

, с/мм.

Масштаб скорости можно вывести из условия, что скорость исследуемой точки является производной перемещения S по времени:

.

Здесь предполагается, что масштаб перемещений μ_s и масштаб времени μ_t являются постоянными величинами.

Так как , то , отсюда

, .

Масштаб ускорения, вывод которого аналогичен предыдущему, вычисляется по формуле

, .

Для определения величины скорости или ускорения в каком-либо положении точки В необходимо длину ординаты соответствующего графика умножить на масштаб m_u или m_a соответственно.

Рис. 2.1. Совмещённые планы механизма,

графики перемещений, скоростей и ускорений

Графоаналитический метод кинематического анализа

Графоаналитический метод называют методом планов скоростей и ускорений.

Задача о положениях решается графическим методом, то есть построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.

Преимущество этого метода по сравнению с графическим в том, что он менее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их величину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для множества точек механизма.

Недостатком метода является то, что требуется построить планы скоростей и ускорений для нескольких положений механизма (если необходимо определять скорость и ускорение при различных положениях механизма и его звеньев).

Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенник

При решении задач такого типа известны угловая скорость w₁ ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.

Последовательность решения задачи:

1. Строится план механизма (рис. 2.2) в выбранном масштабе длин:

, м/мм,

где L_OA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2) переводятся масштабом длин m_L в отрезки:

AB = L_AB/m_L, мм,

BC = L_BC/m_L, мм,

OC = L_OC/m_L, мм.

2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма.

Векторное уравнение для звена 2 (шатуна)

V_В = V_А + V_ВА, (2.1)

где V_А = V_АО – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа точки О; V_ВА – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.

Векторное уравнение для звена 3 (коромысла)

V_В = V_С + V_ВС. (2.2)

Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю (V_С = 0), а вектор относительной скорости точки В относительно С (V_ВС) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма.

3. Строится план скоростей механизма – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (2.1) и (2.2) в каком-либо масштабе.

План скоростей механизма и его свойства

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 2.2). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:

, м/с.

Затем выбирается масштаб плана скоростей m_u по соотношению

, ,

где u_A – скорость точки А, м/с; P_Va – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость V_A, выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться условий: во-первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во-вторых, численное значение масштаба m_u должно быть удобным для расчётов (m_u должно быть круглым числом).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности, соответ-ствующей написанию векторных уравнений (2.1) и (2.2).

Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механизма точки Р_u (полюса плана скоростей) вектор скорости V_А, который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину P_Va, выбранную нами при определении масштаба плана скоростей m_u. Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс P_V – линия, перпендикулярная отрезку ВС. Пересечение этих линий даёт точку b. В соответствии с векторными уравнениями (2.1) и (2.2) на построенном плане наносятся направления (стрелки) векторов V_ВиV_ВА.

Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно записать векторные уравнения скоростей:

V_К = V_А + V_КА,

V_К = V_В + V_КВ,

где вектор скорости V_КА перпендикулярен отрезку АК на плане механизма, а вектор V_КВ – отрезку КВ.

Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана скоростей проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана скоростей – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычислить по формуле

V_К = (Р_Vk)m_V,

где Р_Vk – длина соответствующего вектора на плане скоростей.

Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны:

,

так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому-либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма. Стороны фигур взаимно перпендикулярны.

Угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по формулам

, c^-1,

, c^-1.

Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов V_ВАиV_BC. Для этого вектор V_ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А, в ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна ω₂.

Аналогично поступают со скоростью V_ВА. В каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С, туда и будет направлена угловая скорость ω₃.

План ускорений механизма и его свойства

Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2). Примем угловую скорость кривошипа постоянной (w₁ = const, что является наиболее распространённым и рациональным видом движения в реальных механизмах).

Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошипа)

а_А= а_АО = аⁿ_АО+ а^t_АО ,

где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O рассчитывается по формуле .

Вектор аⁿ_АО параллелен отрезку АО на плане механизма. Тангенциальная составляющая ускорения а^t_АО рассчитывается по формуле

.

В нашем случае угловое ускорение кривошипа e₁ = 0, тогда .

Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатуна)

а_В= а_А + аⁿ_ВА+ а^t_ВА,

где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А рассчитывается по формуле .

Вектор аⁿ_ВА параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а тангенциальная составляющая а^t_ВА перпендикулярна АВ.

Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла)

а_В= а_С + аⁿ_ВС+ а^t_ВС,

где ускорение точки С а_С = 0; нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле .

Вектор аⁿ_ВС направлен параллельно отрезку ВС плана механизма от В к С, а вектор а^t_ВС – перпендикулярно ВС.

Выбираем масштаб плана ускорений: , , где Р_аа^’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы план ускорений разместился на отведенном месте чертежа и численное значение μ_а было удобным для расчетов (μ_а должно быть круглым числом).

Тогда ускорение аⁿ_ВА будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение аⁿ_ВС – вектором длиной , мм.

Затем строится план ускорений (рис. 2.2) с использованием составленных векторных уравнений ускорений. Из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Р_аа′ была выбрана произвольно при расчете масштаба μ_а. Из конца этого вектора (точки а′) проводится вектор ускорения длиной а′n₂, который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через точку n₂ проводят прямую. Затем из полюса Р_а проводят вектор ускорения длиной Р_аn₃. Перпендикулярно ему через точку n₃ проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n₂ перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения обозначается буквой b′, которая, будучи соединена с полюсом Р_а, образует отрезок Р_аb′, изображающий вектор полного ускорения точки В.

Используя план ускорений, можно вычислить ускорения

, m_u.

Запишем

,

где w₂ и e₂ – угловые скорость и ускорение шатуна.

,

где w₂ и e₂ не зависят от выбора (расположения) полюса Р_а плана ускорений, а отношение масштабов постоянно (m_L/m_a= const) для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например, К, принадлежащей шатуну) можно записать пропорции

.

Отсюда формулируется теорема подобия: отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.

Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле

.

Угловые ускорения звеньев шатуна , c^-1, направление e₂ определяются по а^t_ВА; угловые ускорения звеньев коромысла , c^-1, направление e₃ – по а^t_Вс.

Так как w₂ и e₂ направлены в противоположные стороны, вращение шатуна является замедленным.

Использование плана скоростей и плана ускорений

для определения радиуса кривизны траектории движения точки

Радиус кривизны траектории движения точки (например, точки К) можно вычислить по формуле

,

где аⁿ_К – нормальная составляющая ускорения точки К.

Для определения величины (и направления) аⁿ_К следует вектор полного ускорения а_К на плане ускорений разложить на нормальную и тангенциальную составляющие, причём аⁿ_К перпендикулярна вектору скорости V_К, а^t_К параллельна последнему. Для этого сначала через полюс плана ускорений Р_а проводится прямая, параллельная вектору скорости точки К, а через точку k` – перпендикуляр к этой прямой; на их пересечении получают точку m.

Рис. 2.2. План механизма, скоростей, ускорений

Использование плана скоростей и плана ускорений

для определения мгновенного центра скоростей (МЦС)

и мгновенного центра ускорений (МЦУ) звена

Для определения МЦС и МЦУ используют теорему подобия, а на плане механизма строят фигуры, подобные фигурам (треугольникам) на планах скоростей и ускорений (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Определение положений мгновенных центров скоростей P_V2

и ускорений Р_а2 шатуна

Из теоретической механики известно, что плоскопараллельное движение звена механизма в каждый момент времени может быть представлено как вращение вокруг некоторой точки, которую называют мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей (МЦС). Если данная точка относится к станине (стойке) механизма, т.е. является неподвижной, то соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в абсолютном движении рассматриваемого звена. Таким образом, если мы представим, что точка P_V2 принадлежит шатуну (рис. 2.3), то её скорость будет равна нулю.

Если же рассматривается движение звена относительно любого подвижного звена механизма, то соответствующий МЦС называют мгновенным центром скоростей в относительном движении рассматриваемых звеньев.

Аналогично может быть найдена условная точка, принадлежащая звену, абсолютное ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) звена. Если звено механизма совершает сложное плоскопараллельное движение, то меняются и положения МЦС и МЦУ.

Планы скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма

Последовательность построения планов скоростей и ускорений кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4) аналогична той, которая приведена в предыдущем случае. В дальнейшем некоторые подробности (расчёты масштабов, длин m_е, масштабов планов скоростей m_v и ускорений m_а и т.д.) будут пропущены.

План скоростей кривошипно-ползунного механизма начинают строить после построения плана механизма в заданном положении, в выбранном масштабе длин m_L, составления векторного уравнения скоростей и выбора масштаба плана скоростей m_v.

Векторное уравнение скоростей шатуна 2 (рис. 2.4)

V_В = V_А + V_ВА,

где V_А = w₁ L_OA – скорость точки А, м/с; вектор этой скорости направлен перпендикулярно прямой ОА кривошипа 1 (рис. 2.4) на плане механизма; V_ВА – вектор скорости точки В относительно А; имеет направление, перпендикулярное прямой АВ на плане механизма; V_В – вектор полной (абсолютной), скорости ползуна 3; должен быть параллельным направлению движения ползуна.

Для построения плана скоростей сначала из полюса плана Р_v (рис. 2.4) проводится вектор скорости точки А относительно О – V_А, т.е. векторный отрезок Р_va. Затем через точку апроводится перпендикуляр к прямой АВ плана механизма и через полюс Р_v – прямая, параллельная движению ползуна 3. На пересечении этих двух прямых получается точка b. Направления векторов скоростей V_В иV_ВА обозначают стрелками.

Например, необходимо определить скорость точки S₂, принадлежащей шатуну 2 и расположенной на середине отрезка АВ. Используя теорему подобия, на отрезке ab плана скоростей находят его середину (точка S₂), которая, будучи соединенной с полюсом Р_v, даст вектор V_S2, изображающий абсолютную (полную) скорость точки S₂.

Рис. 2.4. Построение планов скоростей

и ускорений кривошипно-ползунного механизма

Рассчитаем величину линейных скоростей и угловую скорость шатуна:

, м/с,

, м/с,

, м/с,

, с^-1.

Направление вектора угловой скорости шатуна w₂ определяется следующим образом. Вектор скорости V_ВА условно переносится в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки А, в ту сторону и направлена угловая скорость w₂ шатуна.

План ускорений кривошипно-ползунного механизма строят после того, как будет составлено векторное уравнение ускорений шатуна, учитывая, что он совершает сложное движение:

а_В= а_А + аⁿ_ВА+ а^t_ВА,

где а_А – ускорение точки А; его величину и направление можно определить, используя векторное уравнение ускорения точки А относительно оси О вращения кривошипа:

а_А= а_О + а_АО,

причём ускорение точки А относительно О можно разложить на две составляющие – нормальное ускорение аⁿ_АО и тангенциальное а^t_АО, т.е.

а_АО = аⁿ_АО+ а^t_АО.

Так как точка О неподвижна и ускорение её равно нулю (а_О= 0 и а^t_АО = 0 при условии, что угловая скорость вращения кривошипа постоянна: w₁ = const и его угловое ускорение e₁ = 0), то векторное уравнение ускорения точки А можно записать в виде

а_А= аⁿ_АО.

Величина нормальной составляющей ускорения (нормальное ускорение) рассчитывается по формуле

(его вектор направлен по радиусу вращения кривошипа от точки А к точке О).

Затем вычисляется нормальное ускорение точки В относительно А по формуле

(его вектор направлен от В к А).

После выбора масштаба плана ускорений по формуле

величина нормального ускорения aⁿ_BA переводится этим масштабом в векторный отрезок длиной

, мм.

Затем строится план ускорений (см. рис. 2.4). Из произвольно выбранного полюса Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения aⁿ_AО, длина которого была выбрана произвольно при расчёте масштаба m_а. Из конца этого вектора (точки ) проводится вектор ускорения aⁿ_BA длиной , который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к А. Перпендикулярно ему через точку n₂ проводят прямую до пересечения с прямой, проведённой через полюс Р_а параллельно линии движения ползуна 3. Полученная точка их пересечения b' определяет длины векторов ускорений a_BA и a_B.

Для нахождения величины ускорения точки S₂, принадлежащей шатуну, можно применить теорему подобия. При этом необходимо на векторе, изображающем на плане ускорений относительное ускорение a_BA, найти соответствующую точку S₂', делящую отрезок a'b' в той же пропорции, что и точка S₂ делит отрезок АВ на плане механизма.

Угловое ускорение шатуна вычисляется по формуле

, с^-1,

где n₂b' – длина вектора на плане ускорений, изображающего тангенциальное ускорение а .

Для определения направления вектора углового ускорения шатуна e₂ необходимо вектор тангенциального ускорения а условно перенести в точку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун относительно точки А, в ту сторону и направлено ускорение e₂ шатуна.

Планы скоростей и ускорений кулисного механизма

Чтобы построить план скоростей, необходимо составить векторное уравнение скоростей. При этом следует иметь в виду, что точка А₁ (рис. 2.5), принадлежащая кривошипу 1, и точка А₂, принадлежащая ползуну 2 и совпадающая на плане механизма с точкой А₁, вращаются вокруг оси О с одинаковыми линейными и угловыми скоростями:

V_А1 = V_А2 и w₁ = w₂.

Рис. 2.5. Построение планов скоростей и ускорений кулисного механизма

Если задана величина w₁, то величину линейной скорости рассчитывают по формуле

V_А1 = V_А2 = w₁ L_ОА, м/с.

Векторы скоростей V_А1 иV_А2 направлены перпендикулярно радиусу ОА₁. Скорость точки А₃, принадлежащей кулисе 3, можно найти по векторному уравнению скоростей

V_А3 = V_А2 + V_А3А2,

где V_А3А2 – вектор скорости точки А₃ кулисы относительно точки А₂ ползуна, параллельный прямой А₁В плана механизма.

После выбора масштаба плана скоростей m_v (см. предыдущие примеры механизмов) строят план скоростей. Из полюса Р_v (см. рис. 2.5) перпендикулярно отрезку ОА плана механизма проводится вектор скорости V_А1, совпадающий с вектором скоростиV_А2 (см. рис. 2.5, вектор ). Через точку а₁ проводят прямую, параллельную прямой А₁В, а через полюс Р_v – прямую, перпендикулярную А₁В. На их пересечении получают точку а₃ и наносят направление векторов (стрелки), руководствуясь векторным уравнением скоростей.

Вычисляют величины скоростей:

, м/с,

, м/с,

где Р_v a₃ и а₁ а₃ – длины векторов, измеренные на плане скоростей.

Поиск по сайту: