Вихревой характер магнитного поля проявляется также при определении циркуляции вектора напряженности поля. Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется интеграл вида
(15.13)
[dℓ— вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bcosα — составляющая вектора B в направлении касательной к контуру, α — угол между векторами и dℓ].
Выберем в магнитном поле бесконечного прямолинейного проводника с током I произвольный контур, совпадающий с одной из силовых линий, охватывающих ток. Силовые линии бесконечно длинного прямолинейного проводника представляют собой концентрические окружности. В каждой точке этого контура вектор одинаков по модулю; следовательно, циркуляция вектора равна
(15.14)
[r0 — радиус выбранной силовой линии, т. е. окружностью.
Еcли контур охватывает систему токов, то токи складываются.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
(15.15)
где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.
Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, если его направление соответствует перемещению правовинтового буравчика при вращении его в соответствии с выбранным направлением обхода контура. Ток противоположного направления считается отрицательны.
Например, если контур охватывает три тока (рис. 15.5: 1 и 2 – положительные , 3 – отрицательный), то закон полного тока для этого случая имеет вид:
(15.16)
Выражение справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.
Сравнивая выражения для циркуляции векторов ( ) и ( ), видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.
Ø Магнитное поле соленоида и тороида
Магнитное поле тока можно усилить, если провод, по которому идёт ток, свернуть в форме винтовой спирали. В результате этого цилиндрическую катушку, состоящую из большого числа намотанных вплотную друг к другу витков проводника. называют соленоидом. При пропускании через соленоид электрического тока внутри и вне соленоида возникает магнитное поле, напряженность которого пропорциональна силе тока и (приближенно) числу витков. Соленоид с магнитным сердечником представляет собой электромагнит.
Внутри соленоида поле направлено в сторону, определяемую правилом обхвата правой рукой для катушки стоком (рис.15.6): если обхватить соленоид ладонью правой руки, направив четыре пальца по току в витках, то отставленный большой палец покажет направление магнитных линий внутри соленоида.
Как и у магнита, у соленоида есть два полюса – северный N и южный S. Силовые линии магнитного поля выходят из северного полюса и входят в южный. Характер взаимодействия соленоида такой же, как у магнитов, разноимённые магнитные полюса притягиваются, а одноимённые отталкиваются.
В отличии от электрических зарядов отдельных магнитных полюсов нет. Сколько бы мы не делили магнит пополам мы не получим отдельно северного и южного полюса.
Рассчитаем,применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной ℓ, имеющий N витков, по которому течёт ток (рис.15.7). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.
Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур 1234. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру 12341, охватывающему все N витков, равна
Интеграл по 12341 можно представить в виде четырёх интегралов: по 12, 23, 34 и 41.
На участках 23 и 41 контур перпендикулярен линиям магнитной индукции cos90°=0, поэтому В= 0. На участке вне соленоида34 В=0. На участке 12 циркуляция вектора В равна Вℓ (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,
приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):
(15.17)
Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида.
Тороид – кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис.15.8). Магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.
Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда по теореме о циркуляции
В∙2πr = μ0 NI
Отсюда следует, что магнитная индукция внутри тороида ( в вакууме)
(15.18)
где N – число витков тороида. Если контур проходит вне тороида, то токов он не
охватывает и В∙2πr = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.
Площадка S находится в однородном магнитном поле с индукцией В(рис.15.9). Проведём линии магнитной индукции сквозь эту площадку и её проекцию S0 на плоскость, перпендикулярную этим линиям. Число линий, пронизывающих площадки S и S0 одинаково.
( Вn = В cosα - проекция вектора В на направление нормали к площадке. Так как Вn – скаляр, то и магнитный поток – величина скалярная).
Магнитный поток равен числу линий магнитной индукции, проходящих сквозь данную поверхность. Учитывая это, можно считать, что В, характеризует плотность потока магнитной индукции.
В случае неоднородного магнитного поля поверхность произвольной формы разбиваем на элементарные площадки , в пределах которых считаем поле однородным, тогда
dФ = Вn dS
Полный поток сквозь рассматриваемую поверхность равен
Если поверхность замкнута, то справедлива теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
(15.20)
Она свидетельствует об отсутствии в природе магнитных зарядов, т.е. замкнутости магнитных силовых линий.
Рассчитаем поток вектора В через соленоид
Магнитная индукция внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ, равна
Магнитный поток через один виток соленоида площадью S равен
Ф1 = ВS
а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,