Приклад 9.12.В незатухаючій біжучій хвилі задана точка , що знаходиться на відстані від джерела коливань. Амплітуда коливань м. Вважаючи, що в початковий момент часу зміщення точки , яка знаходиться в джерелі, максимальне, визначити зміщення від положення рівноваги точки для моменту , а також різницю фаз коливань точок і .
Розв’язок: Зміщення точки можна знайти за допомогою рівняння біжучої хвилі (26а). Використовуючи умову задачі, перетворимо це рівняння так, щоб в нього ввійшли довжина хвилі і період коливань. Враховуючи співвідношення і рівність , одержимо:
(1)
Щоб знайти початкову фазу , скористаємося початковими умовами задачі: якщо , то . При цих значеннях з рівняння (1) маємо , звідки .
Тепер, підставивши числові значення величин в (1), отримаємо першу відповідь:
м.
Для знаходження різниці фаз коливань точок і врахуємо, що для точки координата . Отже, в будь-який момент фаза точки , тобто аргумент синуса в (1), дорівнює . Тоді:
(2)
Цей же результат можна отримати зразу з формули , якщо покласти в ній . Підставивши у (2) числове значення відношення , знайдемо:
.
Таким чином, коливання точки відстають по фазі від коливань джерела на кут .
Приклад 9.13.Для визначення частоти звукових коливань був застосований інтерференційний прилад, зображений на рисунку, де - джерело звуку; - два коліна, що являють собою порожнисті металеві трубки (коліно - може висуватися); - слухова трубка. В залежності від положення коліна спостерігач реєструє з допомогою слухової трубки підсилення чи послаблення звуку. Для того, щоб перейти від одного мінімуму звуку до іншого, переміщають висувне коліно на відстань см. Вважаючи швидкість звуку в повітрі при температурі досліду рівною м/с, знайти частоту звукових коливань.
Рис. 9.5
Розв’язок: В точці відбувається інтерференція звукових хвиль, що приходять сюди від джерела різними шляхами: і . Результат інтерференції хвиль виражається умовами (32). Перемістивши коліно на відстань , змінюють тим самим різницю ходу хвиль на величину :
(1)
де і - різниця ходу в початковому і кінцевому положеннях коліна. Оскільки в обох положеннях гучність звуку і пов’язана з нею амплітуда звукових коливань мінімальні, то кожна з величин і визначається умовою мінімуму:
, (2)
При цьому, оскільки переміщення коліна відповідає двом сусіднім мінімумам звуку, повинно виконуватися співвідношення:
(3)
Враховуючи (3), віднімемо почленно рівняння (2). Тоді одержимо:
(4)
Порівнюючи вирази (1) і (2), маємо:
Тепер знайдемо частоту звукових коливань:
.
Підставивши в формулу числові значення величин, отримаємо:
Гц =3,1 кГц.
Приклад 9.14.Мідний стержень довжиною м закріплений у середній частині. Знайти частоти можливих власних поздовжніх коливань стержня.
Розв’язок: Якщо будь-якій частинці пружного тіла надати початковий імпульс (наприклад вдарити молотком по торцю стержня), то всі частинки тіла прийдуть в коливальний рух – в тілі встановляться власні коливання. Процес поширення коливань у закріпленому стержні являють собою стоячі хвилі. Ці хвилі є результатом інтерференції двох зустрічних систем біжучих хвиль: падаючих на межу тіла з оточуючим середовищем і відбитих від цієї межі.
Частота власних коливань в стержні пов’язана з довжиною біжучої хвилі співвідношенням (24). При цьому швидкість поздовжніх хвиль в мідному стержні можна знайти за формулою:
.
Рис. 9.6
Величини , для міді табличні, і наша задача зводиться до визначення довжин хвиль, що відповідають власним коливанням стержня. Цим коливанням завжди відповідає такий розподіл по довжині тіла стоячих хвиль, які задовольняють граничним умовам: на закріпленому кінці тіла повинен бути вузол зміщень, на вільному – пучність. Отже, на кінцях даного стержня повинні бути пучності зміщень, а посередині його – вузол зміщень, оскільки в цьому місці стержень закріплений. Один з можливих варіантів розподілу стоячих хвиль по довжині стержня зображений на рис. 9.6.
Тут по осі відкладені відстані точок стержня від його лівого кінця, по осі - зміщення точок стержня від положення рівноваги, які вони мають в деякий момент часу, беручи участь в поздовжніх коливаннях (пунктиром зображений графік зміщення через проміжок часу ). Точки - вузли стоячої хвилі.
З графіка видно, що на всій довжині стержня (від до ) повинно вкладатися парне число півхвиль і ще дві чверті хвилі. Таким чином маємо:
, ….
Звідси
Підставивши це значення в формулу для частоти, отримаємо відповідь:
.
Взявши з таблиць значення Н/м2, кг/м3 і виконавши обчислення, знайдемо:
Гц.
Значення дає основну частоту власних коливань Гц. Значення відповідають вищим гармонічним частотам.
Приклад 9.15.Джерело звуку частотою Гц рухається зі швидкістю м/с, віддаляючись від нерухомого приймача звуку і наближаючись при цьому до стінки . Визначити частоту биттів, які реєструються приймачем звуку. Швидкість звуку м/с
Рис. 9.7
Розв’язок: Биття виникають в результаті додавання коливань з частотами, що мало відрізняються між собою. При цьому частота биттів дорівнює різниці частот коливань, що додаються. З’ясуємо виникнення биттів у даному випадку.
Приймача досягають звукові хвилі безпосередньо від джерела , а також хвилі, відбиті від стінки. Досягнувши приймача, ці дві системи хвиль збіднять в ньому коливання різних частот. Дійсно, джерело звуку віддаляється від нерухомого приймача . Внаслідок ефекту Допплера приймач зареєструє коливання частотою . Поклавши в формулу (35) і враховуючи, що, згідно правила знаків, , оскільки джерело віддаляється від приймача, отримаємо
(1)
В той же час джерело звуку наближається до стінки. Тому частоту коливань , що сприймається стінкою, знайдемо знову за формулою (35), де і , отже:
(2)
Сприймаючи коливання частотою стінка сама стає джерелом звукових хвиль такої ж частоти , які, дійшовши до приймача , збудять в ньому коливання частотою і в результаті виникнуть биття, частоту яких знайдемо, використовуючи формули (1),(2):
Гц.
Приклад 9.16.Від джерела, розташованого біля поверхні Землі, поширюються звукові хвилі. Через який проміжок часу вони досягнуть висоти км, якщо температура повітря біля поверхні Землі С, а градієнт температури в атмосфері К/м.
Розв’язок: Щоб знайти час поширення хвилі, знаючи її переміщення , з’ясуємо спочатку, яка швидкість звуку у вертикальному напрямі. Швидкість звуку в повітрі визначається формулою (37), де . Можна показати, що при цьому швидкість залежить від температури повітря. Дійсно, оскільки , то, застосувавши рівняння газового стану, отримаємо
(1)
За умовою задачі температура повітря залежить від висоти. Цю залежність можна записати так:
(2)
де - температура на висоті , - градієнт температури, що показує приріст (в даному випадку від’ємний) температури на кожний метр висоти. Підставивши значення з (2) в (1), маємо:
(3)
Таким чином, швидкість звуку залежить від висоти. Щоб знайти шуканий час, будемо розглядати рух звукової хвилі як змінний. В такому випадку швидкість в будь-який момент часу дорівнює , звідки з урахуванням формули (3)
Це диференціальне рівняння, що виражає залежність часу від висоти. При зміні часу від до висота змінюється від до . Отже,
,
звідки
Підставивши числові значення величин і виконавши обчислення, отримаємо: