Робота і потужність сили

Для характеристики дії сили, що діє на тіло при деякому його переміщенні, вводиться поняття про роботу сили. Розглянемо прямолінійний рух тіла M уздовж осі Ох під дією змінної сили F(x) з положення х₀ в положення х₁ (рис. 7.22). Прикладом змінної сили, яка залежить від переміщення х, є сила пружності пружини

, (7.17)

де с – жорсткість пружини, х – деформація цієї пружини. Іншими прикладами таких сил є сила усесвітнього тяжіння, сила Кулона взаємодії між зарядами, ці сили залежать від відстані між тілами (зарядами).

Рис. 7.22.

Введемо спочатку поняття про елементарну роботу сили F на нескінченно малому переміщенні

.

Робота сили на будь-якому кінцевому переміщенні як інтегральна сума відповідних елементарних робіт рівна

. (7.18)

Одиницею виміру роботи в системі СІ є джоуль (1 дж = 1 н м).

Потужність. Потужністю називається величина, що визначає роботу, яку виконує сила за одиницю часу. Якщо робота здійснюється рівномірно, то потужність є

, (7.19)

де t – час, протягом якого вироблена робота. У загальному випадку

, (7.20)

де v – швидкість тіла.

Одиницею виміру потужності в системі СІ є ват (1 Вт = 1 дж/сек).

Роботу, яку призводить машина, вимірюється добутком її потужності на час роботи. Звідси в техніці виникла одиниця виміру роботи кіловат.

Приклади.1) Обчислити роботу, яку необхідно витратити, щоб підняти тіло маси m з поверхні Землі на висоту h (радіус Землі R = 6400км). За допомогою отриманого результату визначити другу космічну швидкість (швидкість, при якій тіло, що вертикально піднімається, може піднятися на будь-яку висоту).

Розв‘язання.На ракету, що має масу m, за законом усесвітнього тяжіння діє сила , де G – гравітаційна постійна; M – маса Землі; m – маса ракети; x – відстань ракети до центру Землі, = 9,81 м/с² - прискорення вільного падіння.

Шукана робота сили тяжіння при виводі ракети з поверхні Землі на висоту h дорівнює

або, враховуючи значення прискорення вільного падіння, маємо

В той же час робота дорівнює зміні кінетичній енергії ракети

, враховуючи, що стартова кінетична енергія дорівнює нулю, а V – швидкість ракети на висоті h над поверхнею Землі. Таким чином, швидкість ракети V на висоті h визначається з рівняння

, звідки .

Аби розрахувати другу космічну швидкість, яку треба надати ракеті на поверхні Землі для подолання земного тяжіння, потрібно перейти до границі h → ∞ у останньому виразу

(м/с).

2)Обчислити роботу, яку треба витратити, щоб розтягнути пружину, яка знаходиться в положенні рівноваги, на 10 см. Відомо, що при розтягуванні пружини на 1 см сила натягнення дорівнює 5 Н.

Рішення.Пружна сила, з якою діє пружина на тіло, підкоряється закону Гуку, згідно якому F = с x, де с – жорсткість пружини, а х – подовження пружини. З умови задачі знаходимо жорсткість пружини с. Оскільки при розтягуванні пружини на 0,01 м сила пружного натягнення рівна 5 Н, то 5 Н = с ∙ 0,1 м. Отже, с = 500 Н /м і сила пружності пружини дорівнює F(x)= 500 x, Н

Шукана робота сили пружності при розтягуванні пружини на 10 см = 0,1 м обчислюється за формулою:

Невласні інтеграли

Визначний інтеграл називають власним інтегралом, якщо проміжок інтегрування кінцевий, а підінтегральна функція f(x) безперервна на цьому відрізку. У даному розділі розглядаються так звані невласні інтеграли, тобто визначний інтеграл від безперервної функції, але з нескінченним проміжком інтеграції, або визначний інтеграл з кінцевим проміжком інтегрування, але від функції, що має в цьому інтервалі нескінченний розрив.

Невласний інтеграл I роду (інтеграл з нескінченним

проміжком інтегрування)

Хай підінтегральна функція f(x) безперервна і обмежена для всіх . Невласний інтеграл першого роду позначається як . Невласним інтегралом І роду від функції f(x) на нескінченному проміжку називається границя, якщо вона існує, при визначного інтеграла , тобто

= . (7.21)

Якщо ця границя існує і вона кінцева, то невласний інтеграл збігається. Якщо вказана границя не існує або вона нескінченна, то інтеграл називається розбіжним.

Аналогічним чином визначається невласний інтеграл на проміжку

= . (7.22)

Невласний інтеграл з двома нескінченними границями визначається формулою

= + , (7.23)

де с – довільне число. В даному випадку інтеграл зліва збігається у тому випадку, коли збігаються обоє інтеграла справа.

Приклади.Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність:

1. = , інтеграл розбігається;

2. = = =

= ;

3. = , інтеграл розбіжний, оскільки при границя не існує.

4. Визначити площу фігури, обмеженою кривою і віссю Ох

= =

= .

Рис. 7.19.

Ознаки порівняння

Приведемо без доведення одну з ознак збіжності невласних інтегралів I роду.

Теорема.Якщо на проміжку для безперервних функцій задовольняється нерівність 0 , то із збіжності інтеграла виходить збіжність інтеграла , з розбіжності інтеграла виходить розбіжність інтеграла .

Приклад.Досліджувати збіжність інтеграла . Підінтегральна функція на проміжку інтегрування менше ніж , а інтеграл сходиться. Отже, даний інтеграл також збігається.

Невласний інтеграл II роду (інтеграл від розривної функції)

Хай функція f(x) безперервна на проміжку і має нескінченний розрив в точці х = b . Невласним інтегралом II роду називається кінцева границя, якщо вона існує, інтеграла . Таким чином, за визначенням

. (7.18)

Якщо границя в правій частині існує, то невласний інтеграл збігається. Інакше невласний інтеграл розбігається.

Якщо функція f(x) має розрив в точці с на проміжку [а, b], то невласний інтеграл II роду визначається формулою

.

В цьому випадку інтеграл зліва збігається, якщо обоє невласних інтеграла справа збігаються.

Приклади.Обчислити або встановити збіжність невласного інтеграла:

1. . При х = 1 функція має нескінченний розрив.

=

2. . При х = 0 функція має нескінченний розрив.

= ,

інтеграл розбігається.

Приклади для самостійного розв‘язання

Обчислити невласні інтеграли:

1) . 2) . 3) . 4) .

5) . 6) .

Поиск по сайту: