Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Центр тяжіння плоскої фігури



Згідно закону усесвітнього тяжіння всі тіла притягуються до Землі з силою, пропорційній масі тіла ( m - маса тіла і g = 9,81 м/с2 ), ця сила називається вагою тіла (силою тяжіння).

При розгляданні рівноваги і руху тіл складної форми поважно знати положення центру тяжіння цього тіла.

Розглянемо визначення положення центру тяжіння матеріальної пластини АВВ1А1 у вигляді криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривий АВ, яка задана явним рівнянням у = у(х), і лініями х = а, х = b ( а < b) і у = 0 (Рис. 7.21).

Рис. 7.21

Передбачимо, що поверхнева щільність матеріалу пластини постійна, тобто фігура однорідна. Можна для визначеності вважати, що питома вага матеріалу пластини дорівнює 1 (γ = ρ g = 1, ρ – щільність матеріалу), тоді маса пластини або її будь-якій частині вимірюється відповідною площею.

Для визначення положення центру тяжіння проведемо розбиття даної пластини на вертикальні смуги з основами i = 1,2,.,n ( ). Центр тяжіння кожної смуги визначається координатами

, ,

де і - координати точки кривої ( = y ( ) ).

Центром тяжіння даної однорідної пластини АВВ1А1, також як для будь-якого іншого тіла, володіє цією властивістю, що її положення не залежить від повороту даної пластини на будь-який кут по відношенню до вертикалі. Як показано в курсі теоретичної механіки координати центру тяжіння тіла визначається формулами

, , (7.15)

коли кількість розбиття прагне до нескінченності, а довжина елементів розбиття . У формулах (7.15) - площа i – ої смуги розбиття

( , ).

Переходячи до границі у формулах (7.15), коли і , відповідні суми є інтегральними, тому координати центру тяжіння криволінійної трапеції визначається формулами

, , (7.16)

де у = у(x) – рівняння кривої АВ.

Зауваження. 1. Якщо плоска фігура має вісь або центр симетрії, то центр тяжіння такої фігури знаходиться на осі або в центрі симетрії.

2. Якщо тіло складається з частин, центри тяжіння яких відомі, то центр тяжіння складеної фігури визначається по формулах

, ,

тут k – кількість складових частин; Si і хi, уi – відповідно площа і координати центру тяжіння i-ої частини. Якщо ж плоска фігура має отвори, то центр тяжіння цієї фігури визначається по цих же формулах, проте площі, відповідні отворам мають бути негативними.

Приклад.Визначити координати центру тяжіння чверті круга (х, у > 0) . Зобразимо дану плоску фігуру (див. рисунок).

Площа чверті круга .

Визначаємо інтеграли чисельників формул (7.16) (ці інтеграли називаються статичними моментами)

,

.

Таким чином, координати центру тяжіння чверті круга рівні

, .

Завдання для самостійного розв’язання.

Знайти координати центру тяжіння фігури, обмеженої лініями:

1) , x = 0, y = 0 . 2) x = 0, x = , y = 0, y = cos x.

3) y = 2 x – x2 , y = 0 . 4) y = , y = sin x.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.