 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Поняття визначного інтегралаСтр 1 из 5Следующая ⇒
Визначний інтеграл Хай на відрізку [а, b] задана безперервна функція у = f(x). Розіб'ємо відрізок [а, b] на частини (не обов'язково однакові) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тоді x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn – довжини часткових відрізків. На кожному з отриманих частковому відрізку [xi-1, xi], i = 1, 2,., n виберемо довільну точку Рис. 7.1. Складемо вираження Sn, яке називається інтегральною сумою для функції у = f(x) на відрізку [а, b]. Sn = f(c1)Dx1 + f(c2)Dx2 + … + f(cn)Dxn = Позначимо λ довжину найбільшого часткового відрізку: Якщо при будь-якому розбиванні відрізка [а, b] на часткові таких, що maxDxi® 0 і довільному виборі точок сi інтегральна сума Таким чином Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою границями інтегралу, х – змінній інтегрування, [а, b] – відрізком інтегрування, f(x) - підінтегральною функцією, Функція у = f(x), для якої на відрізку [а, b] існує визначний інтеграл називається інтегрованою на цьому відрізку. З рисунку 7.1. видно, що сума добутків Sn = S ≈ Sn = Із зменшенням всіх величин Dxi криволінійної трапеції ступінчастою фігурою збільшується. Тому за точне значення площі криволінійної трапеції береться границя S, до якої прагне площа ступінчастої фігури Sn, коли n необмежено зростає так, що
Такий геометричний зміст визначного інтеграла.
Теорема (Коши).Якщо функція у = f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона інтегрована на цьому відрізку. Існують і інші теореми математичного аналізу, що визначають класи функцій, інтегрованих на відрізку [а, b]. Зокрема такими є: · безперервні на відрізку [а, b] функції; · обмежені на відрізку [а, b] функції, що мають кінцеве число точок розриву; · монотонні на відрізку [а, b] функції. Основні властивості визначного інтеграла Розглянемо основні властивості визначного інтеграла, вважаючи підінтегральну функцію інтегрованою на відрізку [а, b] 1) 2) 3) 4) 5) Для довільних чисел а, b, с справедлива рівність:
сумі інтегралів по частинах цього відрізку. 6) Якщо функція f(x) зберігає знак на відрізку [а, b], де а < b, то інтеграл має той же знак, що і функція. Так якщо 7) Якщо f(x) £ j(x) на відрізку [а, b] (а < b), то 8) Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [а, b] (а < b), то:
9) Теорема про середнє значення.Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то на цьому відрізку існує точка
Доведення: Відповідно до властивості 8:
або Оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона набуває на цьому відрізку всіх значень від m до М. Другими словами, існує таке число сÎ [a, b], що m = f(с), тобто 10) Похідна визначного інтеграла по змінній верхній границі дорівнює підінтегральної функції, в якій змінна інтегрування замінена цією границею
Доведення: Хай функція у = f(x) інтегрована на відрізку [а, b]. Вводиться позначення
По теоремі про середнє значення (властивість 9) Далі обчислимо похідну функції
Поиск по сайту: |
і знайдемо значення функції в цій точці, тобто f(сi) (див. рис. 7.1).
.
(i = 1, 2,…, n). Знайдемо границю інтегральної суми, коли 
так, що 
.
прагне до границі I, то це число називається визначним інтегралом від функції y = f(x) на відрізку [а, b] і позначається 
= 
. (7.1)
- підінтегральним виразом.
= 
(С – const), тобто постійний множник С можна виносити за знак визначного інтеграла.
, тобто інтеграл від суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
.
.
, тобто інтеграл по всьому відрізку дорівює 
на відрізку [а, b], то 
.
, тобто нерівність між безперервними функціями на відрізку [а, b] (а < b) можна інтегрувати.
така, що
.
. Позначимо 
.
або 
, тут 
. Розглянемо три точки відрізку [а, b]: а , х та х + Δх ( 
) і визначимо різницю 
. По властивості 5 визначних інтегралів перший інтеграл правої частини можна представити у вигляді суми 
. В результаті
.
, 
.
.