Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Интегрирование дробно-рациональных функций



1. Интегрирование простейших рациональных дробей. К простейшим рациональным дробям относятся функции следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I.

 

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

 

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

=

=

=

Пример.

=

=

=

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

= =

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример.

=

= = =

= .

2. Интегрирование дробно-рациональных функций. Отношение двух многочленов ( Pm(x) – многочлен степени m, а Qn(x) – многочлен степени n ) – называется дробно-рациональной функцией (рациональной дробью).

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. m < n , в противном случае рациональная дробь – неправильная.

Имеет место утверждение: всякую неправильную рациональную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представит в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, т.е.

Например, - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

Получим частное и остаток . Поэтому

= + .

Теорема. Если - правильная рациональная дробь, знаменатель Q(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей

Q(x) = ,

то эта дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

где Ai, A2,…,B1, B2,…,M1, N1,…, R1,S1,… – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Так как ( , то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Таким образом,

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.