 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Рассмотрим применение этого метода на примере: Требуется найти значение интеграла
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались вполне определёнными, правилами приводящими к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже. Метод подстановки (замены переменной) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом исходный интеграл приводится к новому интегралу, который является либо табличным, либо сводящимся к нему. Если требуется найти интеграл
Примеры. Найти неопределенный интеграл: 1. Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
2. Замена
Интегрирование по частям.
Этот метод основан на известной формуле производной произведения: (uv)¢ = u¢v + v¢u, где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем:
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Примеры. 1.
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному. 2.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов. Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным. Примеры
Поиск по сайту: |
. На основе известной формулы дифференцирования 
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен 
, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны 
. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:
и отыскание первообразной при этом вызывает затруднение, то часто оказывается удобным произвести замену переменной интегрирования, полагая x = j(t) и dx = j¢(t)dt в результате получим:
.
Получаем:
, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
или 
;
