Задачи для самостоятельного решения. Кинематика гармонических колебаний.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Кинематика гармонических колебаний.

Сложение колебаний

1.1.1. Краткие теоретические сведения

В природе наблюдается тождественность законов, управляющих колебательными процессами различной природы. В связи с этим при решении задач следует обращать внимание на общие закономерности, которые присущи всем колебательным процессам.

Для математического описания колебаний вводится параметр , характеризующий состояние колеблющейся системы и называемый смещением (возмущением). Для поступательных механических колебаний смещение – линейное отклонение от положения равновесия; для электрических колебаний – отклонение величины заряда; для тел, совершающих вращательное движение, крутильные колебания – угол отклонения от положения равновесия и др. В зависимости от природы колебаний смещение имеет различную размерность.

Система, движение которой есть гармоническое колебание, называется гармоническим осциллятором. Возмущение гармонического осциллятора изменяется по закону синусов или косинусов:

, , (1.1.1)

где А – амплитуда колебания; – фаза колебания; a–начальная фаза колебаний; w – циклическая частота колебаний, равная (Т – период колебаний).

Модуль мгновенной скорости возмущения определяется как производная от возмущения S(t), т. е. . Если и , то

.

Колебательная скорость опережает по фазе возмущение на .

Для поступательных колебаний – колебательная скорость совпадает с обычной механической скоростью; для крутильных колебаний – угловая скорость движения; для электрических колебаний – сила тока.

Модуль мгновенного ускорения для возмущения находится из соотношения: .

Колебательное ускорение опережает по фазе возмущение на p.

Для механических поступательных колебаний – обычное механическое ускорение; для крутильных колебаний – угловое ускорение; для электрических колебаний , где U_L – напряжение на катушке индуктивности колебательного контура.

Величина называется колебательным импульсом осциллятора. Плоскость, на которой по оси абсцисс откладывается величина возмущения , а по оси ординат – величина колебательного импульса р, называется фазовой плоскостью (рис. 1.1.1). Каждая точка плоскости SOP изображает определенное состояние осциллятора с данными значениями S и р.

Рис. 1.1.1.

Фазовая точка с течением времени перемещается по фазовой траектории. Для гармонического осциллятора без затухания уравнение фазовой траектории можно найти, исключив параметр из уравнений: , Уравнение фазовой траектории имеет вид:

.

На фазовой плоскости гармоническое колебательное движение представляется окружностью с радиусом, равным амплитуде колебаний А (рис. 1.1.1).

Рис. 1.1.2.

Гармонические колебания удобно представлять в комплексной форме. При этом считается, что величина возмущения физической системы в любой момент времени представляется действительной частью комплексного возмущения , т. к. , где . Колебания можно представить в комплексной форме, воспользовавшись формулой Эйлера: , где , (см. рис. 1.1.2).

Практическое удобство представления колебаний в комплексной форме состоит в том, что над комплексными величинами можно производить линейные операции (интегрирование, дифференцирование и др.), а затем использовать для дальнейших расчетов действительную часть полученной комплексной величины , имеющую физический смысл (например, амплитуда А, фаза jрезультирующего колебания).

Используя комплексные числа, можно изменить фазу колебания осциллятора путем умножения возмущения на соответствующее число:

1) Изменение фазы колебаний на соответствует умножению на мнимую единицу (i);

2) Изменение фазы на соответствует умножению на (– 1);

3) Изменение фазы на соответствует умножению на (– i).

Рис. 1.1.3.

Колебательное движение можно описывать, используя графическое представление колебаний. Гармоническое колебание (1.1.1) представляется как проекция вектора , вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью w(рис. 1.1.3). Вектор откладывается из произвольной точки О на оси ОХ под углом , равным начальной фазе колебаний. Модуль вектора равен амплитуде колебаний. В момент времени t вектор образует с осью ОХ угол . В результате проекция на ось ОХ равна , что соответствует уравнению колебательного движения (1.1.1)

Для сложения колебаний, происходящих вдоль одной прямой, часто используют графический метод сложения векторов. Амплитуда результирующего колебания определяется по теореме косинусов (рис. 1.1.4):

. (1.1.2)

Рис. 1.1.4.

Вектор образует с осью ОХ угол , который определяет начальную фазу результирующего колебания. Из рис. 1.1.4 видно, что

. (1.1.3)

Вектор вращается с той же частотой ,и результирующее колебание имеет вид:

,

где А и определяются из равенств (1.1.2) и (1.1.3) – соответственно.

При сложении колебаний, происходящих по одному направлению, но с различными частотами и , используя аналогичные рассуждения, можно получить, что амплитуда результирующего колебания А изменяется со временем по закону

. (1.1.4)

Если , а А₀₁= А₀₂= А₀, такое колебательное движение называется биением и описывается уравнением:

. (1.1.5)

Период изменения абсолютного значения амплитуды называется периодом биения; причем .

Если осциллятор участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, то уравнение движения результирующего колебания определяется путем исключения параметра t из системы двух уравнений.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1.Частица совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ около положения равновесия х = 0. Частота колебаний = 4,00с^–1. В некоторый момент времени координата частицы х₀= 25,0 см и ее скорость
u₀ = 100 cм/c. Найти координату х и скорость частицы u через время t = 2,4 с после этого момента.

ДАНО: = 4,00с–1 х0= 25,0 см u0 = 100 cм/c t1= 2,4 с	СИ   0,25 м 1 м/с
x1 – ? u1 – ?

АНАЛИЗ. Для решения воспользуемся уравнениями кинематики гармонических колебаний.

РЕШЕНИЕ. Закон движения частицы, совершающей гармонические колебания, определяется уравнением (1.1.1):

. (1.1.6)

За начало отсчета времени (t = 0) выберем момент, для которого заданы начальные условия: х₀ = 25,0 см = 0,250 м,u₀= 100 см/с = 1,00 м/с, колеблющейся частицы.

Закон изменения скорости со временем найдем, продифференцировав по времени уравнение (1.1.6):

. (1.1.7)

Уравнения (1.1.6) и (1.1.7) в точке t = 0 с учетом начальных условий имеют вид:

x₀= Acos , u₀= – A sin .

Получили систему из двух уравнений для определения амплитуды А и начальной фазы . Из них найдем:

, (1.1.8)

. (1.1.9)

Уравнения (1.1.8) и (1.1.9) почленно возведем в квадрат и сложим:

.

Амплитуда колебаний А равна:

м.

Правильность формулы по размерности очевидна.

Разделив выражения (1.1.9) на (1.1.8), найдем тангенс начальной фазы колебаний:

.

Учитывая, что ,определим начальную фазу :

a = 180° – 45° = 135° = 3p/4 = 2,35 рад.

Подставив численные значения А и в уравнения (1.1.6) и (1.1.7), получим:

, м; , м/с.

Найдем искомые значения координаты x₁и скорости в момент времени t₁= 2,40 c:

x₁= 0,289 м,u₁= 0,810 м/с.

ОТВЕТ: x₁= 0,289 м,u₁ = 0,810 м/с.

ЗАДАЧА 2. Колебательный контур (рис. 1.1.5) состоит из конденсатора емкостью С = 0,025мкФ и катушки с индуктивностью L = 1,015Гн. Омическим сопротивлением цепи следует пренебречь. Конденсатор заряжен количеством электричества q₀= 2,5×10^–6 Кл. Написать для данного контура уравнения изменения: 1) разности потенциалов U_C на обкладках конденсатора , 2) падения напряжения U_L на катушке индуктивности, 3) силы тока в цепи в зависимости от времени. Найти сдвиг по фазе между напряжением U_С на обкладках конденсатора и: а) током I в цепи, б) напряжением U_L на катушке индуктивности. Найти уравнение фазовой траектории осциллятора.

ДАНО: С = 0,025мкФ L = 1,015Гн R = 0; q0= 2,5×10–6 Кл	СИ 2,5×10–8 Ф
– ?

АНАЛИЗ. В задаче рассматриваются незатухающие колебания в электрическом колебательном LC контуре при отсутствии омического сопротивления. с частотой .

Рис. 1.1.5

РЕШЕНИЕ. Заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону (1.1.1):

. (1.1.10)

Сила тока в контуре

. (1.1.11)

Напряжение на катушке индуктивности найдем, используя закон Фарадея и равенство (1.1.11):

. (1.1.12)

Напряжение на обкладках конденсатора с учетом равенства (1.1.10) имеет вид:

. (1.1.13)

Сравнение выражений для заряда (1.1.10) и напряжения U_C (1.1.13) показывает, что эти величины изменяются в одной фазе.

Закон изменения силы тока (1.1.11) можно представить в виде

. (1.1.14)

Ток I в контуре опережает по фазе на напряжение U_C на обкладках конденсатора. Закон изменения напряжения U_L на катушке индуктивности получим из уравнения (1.1.12):

. (1.1.15)

Сравнение уравнения (1.1.13) с (1.1.15) показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе на напряжение на обкладках конденсатора.

Определим численные коэффициенты в уравнениях (1.1.10), (1.1.13), (1.1.14), (1.1.15). Будем считать, что при t = 0заряд на обкладках конденсатора достигает максимального значения: q = A = q₀ , тогда из равенства (1.1.10) получим = 0. Закон изменения заряда имеет вид: q = q₀сos t, где рад/c.

Закон изменения разности потенциалов U_C на обкладках конденсатора (1.1.13) с числовыми коэффициентами:

, В.

Закон изменения со временем силы тока I c числовыми коэффициентами получим из уравнения (1.1.14):

, A.

Закон изменения напряжения U_L на катушке индуктивности получим из уравнения (1.1.15):

U_L = 2,5×10^–6×1,015×6,28² ×10⁶ cos(2 ×10³t+ ) = 100cos(2 ×10³t+ ),В.

Напряжения U_С на обкладках конденсатора и U_L на катушке индуктивности изменяются в противофазе и имеют одинаковые амплитудные значения.

Чтобы получить уравнение фазовой траектории колебательного контура, воспользуемся уравнением (1.1.10) и (1.1.11). Учтем, что колебательный импульс , тогда:

. (1.1.16)

Исключим параметр t из уравнений (1.1.10) и (1.1.16); учитывая, что =0, найдем:

, (1.1.17)

. (1.1.18)

Равенства (1.1.17) и (1.1.18) возведем в квадрат и почленно сложим:

.

Таким образом, фазовая траектория осциллятора представляет собой окружность.

ОТВЕТ: , В; , В; ; ; , A; уравнение фазовой траектории .

ДАНО А1= 5см А2 = 10см	СИ 5×10–2 м 1×10–2 м
А – ? – ?

ЗАДАЧА 3. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой и амплитудами А₁= 5см, А₂= 10см и с разностью фаз . Определить амплитуду А и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить два гармонических колебаний, происходящих в одном направлении, и имеющих разные амплитуды и разность фаз.

РЕШЕНИЕ. Обозначим смещение от общего положения равновесия для каждого из процессов согласно (1.1.1) соответственно:

S₁(t)= A₁cos(w t + a₁), (1.1.19)

S₂ (t)= A₂cos(w t + a₂). (1.1.20)

Для простоты, начало отсчета в момент времени t₀= 0 выберем так, чтобы = 0, тогда . Закон движения точки, участвующий в двух колебательных процессах, определится согласно принципу суперпозиции и уравнениям движения (1.1.19) и (1.1.20):

S (t)= A₁ cosw t + A₂cos(w t+d). (1.1.21)

Поскольку оба колебания – гармонические, имеющие одинаковую частоту wи одинаковое направление, результирующее колебание S (t)тоже является гармоническим и происходит с той же частотой w. Следовательно, закон движения (1.1.21) можно записать в виде

S (t)= A cos(w t+a), (1.1.22)

где А – амплитуда результирующего колебания, a – его начальная фаза. Сравнивая уравнения (1.1.21) и (1.1.22), получим:

A cos(w t + a) = A₁ cos(w t)+ A₂cos(w t+d). (1.1.23)

Уравнение (1.1.23) справедливо для любого момента времени и поэтому является тождеством. Задача состоит в определении неизвестных А и a. Ее можно решить различными методами:

а) аналитическим методом, непосредственно решая это тождество;

б) методом векторного сложения колебаний.

Рассмотрим оба метода. В аналитическом методе используются формулы зависимости между тригонометрическими функциями двух углов. Воспользуемся зависимостью между тригонометрическими функциями двух углов:
cos(a + b)=cosacosb – sinasinb, тогда правую и левую части (1.1.23), можно представить в виде:

А cos(wt)×cosa – A sin(wt)×sina= А₁cos(wt) + A₂cos(wt)×cosd – A₂ sin(wt)× sind.

Полученное уравнение будет тождеством относительно переменной t, если коэффициенты при и sin в левой его части соответственно равны коэффициентам в правой части:

– A sina= A₂sind, (1.1.24)

Аcosa=А₁ + А₂cosd. (1.1.25)

Чтобы найти амплитуду результирующего колебания, возведем (1.1.24) и (1.1.25) почленно в квадрат, а затем сложим:

А²(sin²a + cos²a) = А₂²sin²d + A₁²+2A₁A₂cosd + A₂²cos²d,

отсюда А²= A₁² +А₂²+2A₁A₂cosd.

Следовательно, м. (1.1.26)

Чтобы найти начальную фазу результирующего колебания, разделим (1.1.24) на (1.1.25):

41° = 0,23p. (1.1.27)

При расчете методом векторного сложения колебаний, последние представляются в виде векторов амплитуд и , которые вращаются с угловой скоростью w против часовой стрелки (см. рис. 1.1.4). Вектор амплитуды результирующего колебания равен векторной сумме векторов . Векторное сложение позволяет учесть различие в фазах колебаний (1.1.19) и (1.1.20). Из рис. 1.1.4 следует, что в данной задаче модуль вектора А проще найти, используя теорему косинусов: , т. е. м, что согласуется с результатом (1.1.26).

Угол a наклона вектора к оси ОХ, как следует из диаграммы на рис. 1.1.4, равен 41°, что также согласуется с полученным выше результатом (1.1.27).

Таким образом, результирующий колебательный процесс происходит с частотой wи описывается законом (1.1.22), где А и a определяются из равенств (1.1.26), (1.1.27) – соответственно, т. е. S(t)= 0,13cos(w t + 0,23p) , м.

ОТВЕТ: м; .

ЗАДАЧА 4. Точка одновременно участвует в n гармонических колебаниях одинаковой частоты w, направленных по одной прямой:

; ; ;...

. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

ДАНО: ; i = 1, 2, 3, ... n

А – ? a– ?

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить n гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту w. При решении необходимо использовать метод векторного сложения колебаний.

РЕШЕНИЕ. Закон движения точки, участвующей в п колебаниях, имеет вид:

S(t) = A cos (w t + a). (1.1.28)

Начертим соответствующую векторную диаграмму, для определенности считая, что п = 4.

Рис. 1.1.6

Из рис. 1.1.6. видно, что проекция A_x результирующего вектора на ось ОХ равна алгебраической сумме проекций векторов отдельных колебаний:

. (1.1.29)

Проекция А_у результирующего колебания вектора на ось OY определяется как

. (1.1.30)

Амплитуда результирующего колебания А равна:

. (1.1.31)

Подставим (1.1.29) и (1.1.30) в окончательную формулу (1.1.31), учитывая при этом, что , а .

В результате получим .

Начальная фаза результирующего колебания определится из рис. 1.1.6: .

ДАНО: x = Acos2,1t×cos50,0t, м

ТБ – ?

ОТВЕТ: ; . ЗАДАЧА 5. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание имеет вид: x = Acos2,1tcos50,0t, м, где t измеряется в секундах. Найти частоты складываемых колебаний и период биений.

АНАЛИЗ. В задаче требуется сложить два гармонических колебания одного направления, имеющих разную круговую частоту w.

РЕШЕНИЕ. Амплитуда рассматриваемого колебания x = Acos2,1t×cos50,0t изменяется со временем по закону:

. (1.1.32)

При сложении колебаний, происходящих по одному направлению с различными частотами w₁ и w₂, возникает колебательное движение, называемое биением ( ). Частота пульсаций амплитуды называется частотой биений. Амплитуда – величина существенно положительная. Следовательно, период биений равен промежутку времени, за который аргумент косинуса изменяется на p, т. е. согласно (1.1.32):

2,1Т_Б = p, с. (1.1.33)

При сложении колебаний разной частоты x₁= A₀cosw₁t и x₂= A₀cosw₂t, если их амплитуды равны, а ,уравнение результирующего колебания опишется равенством (1.1.5):

,

а его амплитуда согласно (1.1.4) имеет вид: .

Сравним эти выражения с уравнением биений x = Acos2,1t×cos50,0t. Получим А = 2А₀,т. е. ,

, (1.1.34)

. (1.1.35)

Из системы уравнений (1.1.34) и (1.1.35) найдем значения частот

w₁= 47,9 с^–1, w₂= 52,1 с^–1.

Следовательно, биение x = A₀cos2,1tcos50,0t с периодом Т_Б= 1,5 свозникло в результате сложения колебаний с амплитудами , и частотами w₁= 47,9 рад/с, w₂= 52,1 рад/с. Их уравнения с числовыми коэффициентами имеют вид:

; .

ОТВЕТ: w₁= 47,9 с^–1, w₂= 52,1 с^–1; Т_Б= 1,5 с.

ЗАДАЧА 6. На вертикально отклоняющие пластины конденсатора подается напряжение , на горизонтально отклоняющие – напряжение . Определить траекторию луча на экране осциллографа.

ДАНО: , В , В

АНАЛИЗ. В задаче необходимо произвести сложение двух гармонических колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных плоскостях X и Y. Суммарное колебание будет одной из кривых Лиссажу, изображаемых на экране осциллографа.

РЕШЕНИЕ. Уравнение колебаний для величины напряжения U на пластинах конденсатора в общем виде можно записать, учитывая (1.1.1):

U_x = A₁cos(w₁ t + a₁), U_y = A₂ cos(w₂t + a₂).

В данной задаче А₁= 2В, рад/с, А₂= 1В, рад/с, ,

т. е. . Уравнения колебаний с числовыми коэффициентами имеют вид:

(1.1.36)

. (1.1.37)

Амплитуда – величина существенно положительная и наличие знака «минус» в уравнении (1.1.37) определяется начальной фазой a₂этого колебания. Воспользовавшись формулой приведения – cospt = cos(pt + p), получим
a₂ = p. Напряжение на вертикальных пластинах опережает по фазе на pнапряжение на горизонтальных пластинах.

Чтобы определить траекторию луча на экране осциллографа, необходимо из уравнений (1.1.36) и (1.1.37) исключить параметр t (время). Поскольку по условию задачи , воспользуемся формулой для косинуса половинного угла . Полученное значение подставим в уравнение (1.1.36), найдем , отсюда , .

Подставим полученное выражение в уравнение (1.1.37):

, (1.1.38)

Рис. 1.1.7

или . (1.1.39)

Уравнение (1.1.39) – это уравнение параболы, ось которой лежит на оси ОY. Амплитуда колебаний по оси OХ U_х = 2 В, по оси ОY – 1 В. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах , а ординаты .

Для графического построения траектории воспользуемся уравнением (1.1.38) и найдем соответствующие координаты точек.

Парабола на рис. 1.1.7. построена по найденным в табл. 1.1 координатам.

Таблица 1.1

Ux					–	– 1	– 2
Uy		1/2		– 1		1/2	– 1

В начальный момент времени ( ) напряжение на горизонтально и вертикально отклоняющих пластинах конденсатора равно В, В (точка А на графике). Точка начинает колебание из положения А и за время с совершит полное колебание по оси ОY, когда дойдет до точки С. Затем она начнет двигаться в обратном направлении. Полное колебание по оси ОY точка совершит за время с и вновь вернется в точку А. Когда точка совершит одно полное колебание по оси ОY, она совершит половину полного колебания по оси ОX, т. к. с, Т₂ = 2 с.

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 7. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями , (смещения даны в см). Найти уравнение траектории точки. Показать на чертеже направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент
t = 0,5 с.

ДАНО: , см , см t = 0,5 с

АНАЛИЗ. В задаче рассматривается сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний, одно из которых опережает по фазе другое на величину . Требуется определить кинематические характеристики в заданный момент времени t = 0,5 с.

РЕШЕНИЕ. Уравнения колебаний согласно условиям задачи имеют вид: , (1.1.40)

. (1.1.41)

Колебание (1.1.41) опережает по фазе колебание (1.1.40) на , т. к. . Исключив из уравнений (1.1.40) и (1.1.41)параметр t, получим уравнение траектории: .

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 2 см и
b = 1 см (рис. 1.1.8).

Чтобы определить направление движения точки, учтем, что в момент
t = 0, x = 0 (уравнение 1.1.40), а см (уравнение 1.1.41). Следовательно, точка находится в положении А. При возрастании t увеличивается x, а уменьшается по абсолютной величине (точка движется против часовой стрелки).

Рис.1.1.8

Скорость точки при ее движении по эллипсу равна . Модуль скорости для взаимно перпендикулярных колебаний: ; аналогично для модуля вектора ускорения получим . Учитывая (1.1.40) и (1.1.41), найдем: , (уравнение 1.1.5).

Тогда , . Модуль вектора скорости:

.

Модуль вектора ускорения:

.

В момент времени t = 0, численные значения скорости u= 3,14 см/c, ускорения – а = 19,7 см/с².

ОТВЕТ: ; u= 3,14 см/c; а = 19,7 см/с².

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка колеблется по гармоническому закону . Найти максимальные значения скорости и ускорения.

2. Найти зависимость скорости гармонического колебания от смещения.

3. Найти зависимость ускорения гармонического колебания от смещения. Построить график зависимости ускорения от смещения.

4. Определить зависимость ускорения гармонического колебания от скорости. Построить график этой зависимости.

5. Начальная фаза колебаний точки равна p/3. Период колебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые скорость и ускорение в п = 2 раза меньше амплитудных значений.

6. Точка совершает колебания вдоль оси х по закону . Построить графики смещения х, проекции скорости и проекции ускорения как функции времени .

7. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой А = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь А/2: а) из крайнего положения, б) из положения равновесия.

8. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия, равном 2,4 см, скорость точки равна 3 см/с, а при смещении, равном 2,8 см, скорость равна 2 см/с. Найти амплитуду и период этого колебания.

9. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с, период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

10. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой n = 500 Гц и амплитудой А = 0,02 см. Определить среднее значение скорости и ускорения точки на пути от ее крайнего положения до положения равновесия, найти максимальные значения этих величин.

11. За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания, пройдет путь, равный: 1) половине амплитуды, если в начальный момент времени она находилась в положении равновесия; 2) одной трети амплитуды, если в начальный момент времени она находилась в крайнем положении?

12. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами, равными 2 см и 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой 5 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

13. Точка участвует в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями: , , (смещения даны в см). Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать его уравнение движения.

14. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам и . Найти максимальную скорость точки.

15. Найти графически амплитуду А колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления: а) , ; б) , , .

16. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями , , см. Написать уравнение результирующего колебания. Начертить векторную диаграмму сложения амплитуд.

17. “Зайчик” колеблется гармонически с некоторой неизменной частотой относительно шкалы, которая, в свою очередь, совершает гармонические колебания по отношению к стенке. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частотах колебаний шкалы n₁ = 20 Гц и n₂ = 22 Гц частота биений “зайчика” относительно стенки оказывается одинаковой. При какой частоте n¢ колебаний частота биений “зайчика” станет вдвое больше?

18. Точка движется в плоскости XY по закону , ,где А, В, – постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки и направление ее движения по этой траектории; б) ускорение точки в зависимости от ее радиус-вектора относительно начала координат.

19. Найти уравнение траектории точки, если она движется по закону: а) , ; б) , .

20. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: и . Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

21. На вертикально и горизонтально отклоняющиеся пластины осциллографа поданы напряжения и . Определить траекторию луча на экране.

22. На вертикально и горизонтально отклоняющиеся пластины осциллографа подаются напряжения и . Определить траекторию луча на экране.

23. На вертикально отклоняющиеся пластины осциллографа подаются два одинаково направленных колебания и , на горизонтально отклоняющиеся пластины . Определить траекторию луча на экране осциллографа.

24. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 5 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,200 Гн. Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора В. Омическим сопротивлением контура пренебречь.

25. Катушка, индуктивность которой L = 3×10^–5 Гн, присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин см² и расстоянием между ними мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если собственной частоте контура соответствует длина волны 750 м?

26. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде , В. Емкость конденсатора равна 10^–9 Ф. Найти: 1) период колебаний в контуре; 2)индуктивность контура; 3) закон изменения со временем силы тока в цепи.

27. Уравнение изменения тока в колебательном контуре со временем имеет вид: , А. Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Поиск по сайту: