Нестислива рідина, в якій повністю відсутнє внутрішнє тертя (в’язкість), називається ідеальною. Течія рідини вважається стаціонарною, якщо в кожній її точці вектор швидкості руху рідини постійний.
Рух рідини можна зобразити за допомогою ліній течії. Це такі лінії, дотичні до яких співпадають з напрямом векторів швидкості руху окремих частинок рідини. Частину рідини, що обмежена лініями течії, називають трубкою течії.
При стаціонарній течії нестисливої рідини її об’єм, що втікає в трубку течії за одиницю часу через переріз S1, дорівнює об’єму рідини, що витікає через переріз S2 цієї ж трубки (див. рис. 7.3):
Рис. 7.3.
Q1 = Q2 , (7.5)
Ці об'єми рідини дорівнюють:
Q1 = V1 S1 t ,
Q2 = S2 V2 t ,
де V1, V2 - швидкість течії рідини в перерізах S1 і S2, t - час.
Підставивши ці значення у рівняння (7.5), отримаємо:
S1 V1 = S2 V2 ,
Перерізи S1 та S2 ми вибрали довільно, тому маємо право стверджувати, що для будь-якого перерізу трубки течії рідини виконується наступне співвідношення, яке отримало назву рівняння нерозривності:
S V = const , (7.6)
Згідно з цим рівнянням добуток швидкості руху стаціонарної течії нестисливої рідини на площу перерізу, де ця швидкість визначалась, є для даної трубки течії величиною постійною. Цей добуток в системі СІ має розмірність [м3/с] і являє собою об’ємну витрату рідини чи газу.
Рівняння Бернуллі.
Розглянемо трубку течії ідеальної рідини, яка обмежена перерізом S1 і S2, що знаходяться на висотах h1 і h2 над рівнем горизонту (див. рис. 7.4).
Нехай у даний момент часу на перерізі S1 швидкість течії рідини дорівнює V1, а зовнішній тиск - Р1. На перерізі S2 швидкість течії рідини - V2 , а зовнішній тиск Р2. Протягом часу Dt переріз S1 зміщується вздовж трубки течії на відстань L1, а переріз трубки течії S2 - на відстань L2.
Згідно з законом збереження енергії зміна повної енергії ідеальної рідини буде дорівнювати роботі зовнішніх сил по переміщенню
Рис. 7.4.
деякої маси рідини:
А = Е2 - Е1 , (7.7)
де Е2 і Е1 - повна енергія рідини масою m в перерізах S1 та S2.
Роботу А можна визначити як роботу, що виконують зовнішні сили при переміщенні рідини по трубці течії за деякий час Dt:
А = А1 + А2 , (7.8)
Значення енергій, що входять у вираз (7.7), дорівнює:
Роботи А1 та А2 визначимо як добуток сили на переміщення:
,
,
Робота А2 має від’ємний знак тому, що тиск Р2 має напрямок протилежний течії рідини.
Згідно з законом збереження енергії робота зовнішніх сил (7.8) дорівнює зміні повної енергії системи (7.7). Тобто:
А1 + А2 = Е2 - Е1 ,
Або:
А1 + Е1 = Е2 - А2 ,
Підставивши у це рівняння значення відповідних функцій, отримаємо:
(7.9)
Рівняння нерозривності (7.6) у нашому випадку має вигляд:
Q = V1 S1 Dt = S2 V2 Dt ,
Далі поділимо рівняння (7.9) на значення Q та, враховуючи, що відношення m/Q, дорівнює густині рідини r, отримаємо:
,
Перерізи трубки течії S1 та S2 нами приймалися довільно, тому маємо право записати в загальному вигляді:
, (7.10)
Рівняння (7.10) вперше встановлено російським фізиком Д.Бернуллі (1700-1782) і отримало назву рівняння Бернуллі.
Параметр Р у рівнянні Бернуллі називається статичним тиском, параметр rgh - гідростатичним тиском, а параметр 0,5 rV2 - гідродинамічним тиском.