Глава 12. Уравнение Бернулли в механике жидкости. Основные теоремы

Математический аппарат данной главе ориентируется на теории и методику расчета течений идеальной и вязкой среды, опираясь на допущение о упрощении процесса течения. Остановимся на этих сведениях.

1. Вводные замечания, определения и теоремы

Напомним, что выше мы приняли. Считаем невязкой жидкостью жидкость, в которой не может возникнуть никакого сrоль угодно малого касательного напряжения. Линией тока (ЛТ) наз. линия, проведенная в жидкости таким образом, что касательная к ней в каждой точке совпадает с направлением скорости жидкости в этой точке. ЛТ показывают, как каждая частица движется в данный момент времени. Траектории – как данная частица движется в каждый момент. ЛТ, проведенная через каждую точку замкнутой кривой образует трубку тока. Струйкой тока, или элементарной трубкой тока наз. трубка тока, поперечное сечение которой является кривой бесконечно малого размера.

Теорема. В установившемся движении жидкости произведение скорости на площадь поперечного сечения постоянно вдоль жидкой струйки тока.

Следствие 1. Нить тока расширяется в местах, где скорость жидкости уменьшается, и сужается в местах, где скорость жидкости увеличивается.

Следствие 2. Струйка тока не может оканчиваться внутри жидкости, если скорость не равна бесконечности в соответствующей точке.

Теорема Бернулли (специальная форма). В установившемся движении жидкости величина

имеет постоянное значение в каждой точке одной и той же линии тока. Здесь p,ρ,q – соответственно давление, плотность, скорость; g – ускорение силы тяжести, h – высота рассматриваемой точки над фиксированной горизонтальной плоскостью.

Замечания к теореме Бернулли.

Специальная форма теоремы Бернулли получена в предположении:

1) что действует только одна внешняя сила - сила тяжести. Поле силы тяжести консервативно – это значит, что работа, совершенная силой тяжести при движении тела от точки P к другой точке Q, не зависит от пути, а зависит только от высоты точки Q по отношению к точке P. Консервативное поле сил приводит к понятию потенциальной энергии, которая измеряется работой, совершенной телом при переходе от одного определенного положения к другому. Чтобы потенциальная энергия единицы массы в точке могла иметь определенный смысл, необходимо, чтобы работа сил поля не зависела от пути, по которому совершается переход в эту точку. Если в общем случае Ω – потенциальная энергия единицы массы в консервативном поле сил, то теорема Бернулли в общей форме будет: имеет постоянное значение вдоль линии тока.

2) жидкость несжимаема и имеет постоянную плотность. В общем случае баротропного потока (p=p(ρ)) теорема принимает форму: выражение имеет постоянное значение вдоль линии тока.

Постоянная в теореме Бернулли. Для отдельной линии тока по теореме Бернулли (ТБ) . Для другой - , где С₁, C₂ – постоянные вдоль линий тока. Когда движение безвихревое, то константа одинакова для всех линий тока.

Гидродинамическое давление (ГД). При установившемся движении ТБ позволяет выяснить характер давления. В покоящейся жидкости имеется в каждой точке гидростатическое давление p_H и по закону Архимеда имеем, что на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости. Частицы жидкости также подчиняются этому закону, и поэтому они находятся в равновесии под действием гидростатического давления p_H и силы тяжести. Поэтому величина p_H/ρ+gh является константой для всей жидкости. Если жидкость движется, то подъемная сила также может действовать. Тогда p=p₀+p_H и по ТБ имеем . Следовательно,

- новая константа. (1)

Т. обр., (1) выражает ТБ для отсутствия силы тяжести. Здесь р₀ – гидродинамическое давление или давление, обусловленное движением. Из (1) следует, что гидродинамическое давление больше там, где скорость меньше, а также что наибольшее ГД имеет место в точках с нулевой скоростью.

Поток в канале. Рассматривается задача об установившемся течении в канале с горизонтальным дном (h- высота поверхности над дном) и прямоугольным поперечным сечением ширины b. При давлении на свободной поверхности р=1атм из теоремы Бернулли следует q² +2gh=const (*). Если ширина канала слабо меняется, то мало меняется и скорость. Тогда дифференцируя (*) имеем udu+gdh=0. С учетом уравнения неразрывности ubh=const, которое может быть записано, как , исключая du имеем .

Таким образом, глубина и ширина канала увеличиваются одновременно тогда и только тогда, когда [ ] скорость u меньше скорости распространения длинных волн в канале.

1.1. Интеграл Бернулли и усложненная термодинамика.

В термодинамике энтальпия единицы массы газа определяется как

(2)

Следовательно, при малых изменениях . Согласно 1 началу термодинамики , если dq=0 (процесс адиабатический), то di=dp/ρ. Тогда интеграл Бернулли, с учетом связи , будет

(3)

Здесь i₀ – значение энтальпии при q=0.

Если в (3) включить (2), то имеем . Здесь E- внутренняя энергия, состоящая для многоатомных газов из энергий поступательного, вращательного и колебательного процессов.

Сообщается об особенностях записи интеграла Бернулли для двухатомных газов, неравновесных процессов.

1.2. Интеграл Лагранжа.

Сделаем предположения:

1) жидкость идеальная; 2) баротропная; 3) массовые силы консервативны; 4) движение безвихревое. Тогда, для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение движения будет иметь вид в форме Громека

. (4)

Т.к. жидкость баротропна, то

(5)

По допущения 3) имеем . Из 4) следует, что . С учетом этих положений получим

. (6)

Из (6) следует, что

. (7)

(7) – интеграл Лагранжа.

1.3. Интеграл Эйлера-Бернулли. Предположим, что выполняются предположения для вывода интеграла Лагранжа и движение установившееся. Тогда имеет место (7). Поскольку v_x, v_y, v_z и φ не зависят от времени, то f(t) переходит в постоянную:

. (8)

Здесь постоянная С одна и та же для всего потока в отличие от интеграла Бернулли, в котором С на разных линиях тока различна.

Поиск по сайту: