Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Глава 7. Статика жидкостей и их свойства. Основные законы равновесия



 

1. Уравнения равновесия жидкости и газа

Как отмечалось выше, в гидростатике рассматриваются законы равновесия жидкости (газа), находящейся в покое. Если жидкость (газ) находится в состоянии покоя от­носительно стенок сосуда, в котором она заключена, а сосуд покоится или движется с постоянной скоростью относительно земли, то покой называется абсолютным. Если жидкость покоится относительно стенок сосуда, а сосуд движется относительно земли с ускорением, то покой называется относи­тельным. Движение жидкости в случае относительного покоя можно рас­сматривать как переносное. Из приведенных определений вытекает, что в случае абсолютного покоя на жидкость действует сила тяжести, а в случае относительного покоя - сила тяжести и сила инерции переносного движения.

Так как в покоящейся жидкости скорости деформации εik=0, то из рео­логического уравнения для вязкой жидкости (см.выше реологический закон) имеем

, (1)

то есть в покоящейся жидкости действуют только нормальные сжимающие напряжения.

Зам.: По Л. Прандтлю «жидкостью называется такое тело, в котором в состоянии равновесия всякое сопротивление деформации равно нулю». Из этого определения следует, что и, соответственно, εik=0.

Величина этих напряжений не зависит от направления и равна давлению. Это давление называется гидростатическим.

Подставив соотношения (1) в уравнения движения сплошной среды в напряжениях, получим ( ):

. (2)

Уравнения (2) называются уравнениями Эйлера в гидростатике.

Умножив скалярно векторное уравнение (2) на единичный вектор , имеем

, (3)

то есть изменение давления в каком-либо направлении определяется про­екцией напряжения массовой силы Fs на это направление.

Умножим скалярные уравнения (2) на dxj. Так как при равнове­сии p=p(xi), то

. (4)

Поверхности, вдоль которых р = соnst, называются изобарами. Из ра­венств (4) следует, что уравнение изобары имеет вид

, (5)

где вектор dr лежит в плоскости, касательной к изобаре. Тогда из (5) вытекает, что напряжение массовой силы направлено по нормали к изобаре. Этот же вывод следует непосредственно из равенств (2).

 

Очевидно, что уравнения (2)-(5) в равной мере справедливы как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей.

Из уравнений (4) имеем, что

 

, (6)

 

где М0, М -точки, в которых гидростатическое давление равно соответст­венно р0 и р. Если напряжение массовой силы обладает потенциалом, то есть , то соотношение (6) принимает вид:

 

. (7)

 

2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести

  Рис. 6.1. При рассмотрении равновесия жидкости в поле силы тяжести введем систему координат Oxyz, где ось Oz направлена против ускорения силы тяжести ĝ (см. рис.1). В этом случае П= -g z , Fx, = Fy = 0, Fz =-g и уравнение (4) принимает вид: . (8) В случае однородной несжимаемой жидкости р-const, из уравнения (6.8) имеем . (9)

Уравнение (9) справедливо для любой точки в объеме жидкости. Урав­нение изобары имеет в рассматриваемом случае вид

. (10)

Таким образом, при равновесии жидкости, находящейся в поле силы тя­жести, изобара представляет собой горизонтальную плоскость.

Для определения константы С в уравнении (9) необходимо задать гра­ничные условия. Пусть при z=z0 p=p0 (см. рис. 1). Тогда

p-p0=ρg(z0-z), (11)

или

. (12)

Обозначив z0 -z=h, уравнение (11) можно представить в виде

p=p0+ρgh. (13)

где pgh - давление, создаваемое столбом жидкости высотой h.

Уравнение (8), или (12), обычно называются основными уравнениями гидростатики.

Рис. 2.     Из (13) следует, что сила давления жидкости на дно сосуда с площадью основания S не зависит от его формы (рис. 2) и рав­на (p0 +ρgh)S . Данный результат обычно называется парадоксом Паскаля. [Бпез Паскаль (1623-1662). французский физик и математик]. Превышение абсолютного давления рабс над атмосферным pат, то есть разность pи=pабс-pа называется избыточным давлением. Величи­на pв =pа-pабс называется вакуумом.
  Рис.3.   Рассмотрим некоторые примеры на применение уравнений гидростатики. 1. Сообщающиеся сосуды (рис. 3). Давление на свободных поверхностях с ко­ординатами z1 Z/ и z, одинаково. Следователь­но, они представляют собой участки одной изобарической поверхности и в соответствии с соотношением (6.9) z; = z-.. Этот же вывод следует из уравнения изобары (10). 2. Равновесие разнородных жидкостей. Пусть две несмешивающиеся жидкости с плотностями р1 и p2 находятся в состоянии равновесия. Давление при переходе через поверхность раздела меняется непрерывным образом. На поверхности раздела из уравнения (8) имеем dp=-ρ1gdz, dp =-ρ2 -gdz или p1,g dz = p2,g dz. Следовательно, dz =0 и граница раздела пред­ставляет собой горизонтальную плос­кость z =const.  
Рис. 4.   3. Двухжидкостной манометр (рис. 4). Для определения разности давлений в системе, заполненной жидкостью плотности ρ1, исполь­зуется манометр с рабочей жидкостью плотно­стью ρ2. В точках 4 и 5, лежащих на горизон­тальной плоскости в одной и той же жидкости, p4=p5. В соответствии с уравнением (13)   откуда следует, что р1 - р2 =gh{ρ21).
     

 

  Рис. 5.   4. Пьезометрическая высота (рис. 5). Давление в несжимаемой жидко­сти можно измерять высотой столба этой же жидкости НП с помощью трубки А. Такая трубка называется пьезометриче­ской. Для точек 1 и 2 имеем: Тогда . (14) Давление в любой точке сосуда равно

Высота Н называется пьезометрической, а поверхность, проходящая через уровень в пьезометре - пьезометрической плоскостью. Если p0> рат, то пьезометрическая плоскость

лежит выше свободной поверхности в сосуде, если p0<рат , то ниже.

5. Равновесие тяжелого газа. Для газа, находящегося в равновесии в поле силы тяжести, из (7) имеем

(15)

Для вычисления интеграла в (15) необходимо задать зависи­мость р =p(ρ).

Ограничимся рассмотрением изотермического равновесия идеального газа при температуре Тb. Тогда ρ=p/(RT0) и из (15) получим:

Разлагая это выражение в ряд, имеем:

Если

(16)

 

где ρ0 - плотность газа при давлении p0 и температуре То. Из формулы (16) следует, что если z-z0 мало, то распределение давления в газе будет практи­чески таким же, как в несжимаемой жидкости. Для воздуха газовая постоянная R=287дж/(кг град). Пусть T0=293°К. Тогда при z-z0<85м погрешность, даваемая форму­лой (16), будет меньше 1%.

3. Относительный покой жидкости

Как уже указывалось, при рассмотре­нии относительного покоя жидкости под на­пряжением массовой силы в уравнени­ях (2) следует понимать равнодействую­щую напряжений силы тяжести и силы инерции переносного движения.

Рассмотрим задачу о вращении с посто­янной угловой скоростью ωсосуда с жидко­стью вокруг вертикальной оси Оz (рис. 6). На элемент жидкости массой ∆m действует сила тяжести и центробежная сила, напря­жения которых равны

,

где ř ~ вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения к рассматриваемому элементу. Проекции этих напряжений на выбранные оси координат O.xyz равны

Подставив эти значения в уравнения (4) и (5), имеем

Интегрируя эти соотношения, получим

(17)

(18)

  Рис.6.   Уравнение (17) дает закон распределения давления в жидкости, а со­отношение (18) представляет собой уравнение семейства изобар, представ­ляющих собой параболоиды вращения. Для определения константы С в уравнении (17) и уравнении свободной поверхности (18) рассмотрим точку А пересечения свободной поверхности с осью 0z. Точка А имеет координаты (0, 0, z0), а давление в этой точке рав­но р0. Тогда из уравнений (17) и (18) имеем С = р0 +gz0, С1=gz0 и

Для определения высоты Н параболоида положим в уравнении (20) r = R , где R - радиус сосуда.

Тогда

.

Из уравнения (20) имеем

,

где z1 - координата точек пересечения вертикальных прямых r1=const со свободной поверхностью. Подставив это соотношение в уравнение (19), получим

(21)

Таким образом, если отсчитывать координату z от свободной поверхно­сти, то распределение давления по вертикали во вращающемся сосуде будет таким же, как и в покоящейся жидкости. Это объясняется тем, что проекция силы инерции на ось 0z равна нулю.

Полученный результат следует также непосредственно из форму­лы (3). Действительно, в рассматриваемом случае

,

откуда после интегрирования сразу получается формула (21).

Рассмотрим теперь движение сосуда с жидкостью по наклонной плоско­сти с постоянным ускорением ā(рис. 7).

Рис. 7. Проекции напряжения массовых сил на координатные оси равны где а - угол наклона плоскости к горизонту, . Подставив эти значения в уравнения (4) и (5), имеем

Из соотношения (23), представляющего собой уравнение семейства изобар, получим

(24)

то есть изобары представляют собой плоскости, наклоненные иод углом β к горизонту.

Интегрируя уравнение (22), получим закон распределения давления

Для определения константы интегрирования С положим, что в точ­ке H(xo,0,z0) р=р0. Тогда

(25)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Спуск по вертикальной стене, то есть а =π/2. Из формулы (24) сле­дует, что β=0, z=const. Изобары представляют собой горизонтальные плос­кости. Из формулы (25) имеем

При свободном падении j = g и р = р0, то есть давление во всех точках жидкости одинаково. Единственной действующей на жидкость силой будет поверхностное натяжение, под действием которого жидкость стягивается в шар.

б) Скольжение по плоскости без трения. В этом случае j=gsinαи из формулы (24) получим, что tgβ=tgα, то есть эквипотенциали параллель­ны плоскости скольжения. Из формулы (25) имеем

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.