Когда сплошное тело приходит в движение, каждый элемент жидкости с течением времени в общем случае перемещается в новое положение и при этом деформируется. Движение жидкости будет полностью определено, если вектор скорости Ŵ будет задан, т.е. Ŵ=f(x,y,z,t). Поэтому должно существовать соотношение между составляющими скорости деформации и функцией Ŵ= Ŵ(x,y,z,t). Скорость, с которой элемент жидкости деформируется, зависит от относительного движения двух точек. Рассмотрим 2 близкие точки (A,B). При наличии поля скоростей т.А за промежуток времени dt совершает перемещение s= Ŵdt в положение , т. В с радиусом вектором dr по отношению к т.А перемещается в положение , расположенное относительно т.В согласно радиусу-вектору s+ds= (Ŵ+d Ŵ)dt.
Считаем, что в т.А составляющие скорости Ŵ есть u,v,w. Тогда составляющие скорости в т.В будут
(1)
.
Система (1) получена с учетом разложения в ряд Тейлора скорости Ŵ+d Ŵ, сохраняя при этом только члены первого порядка. Таким образом, относительное движение т.В относительно т. А будет описываться матрицей из 9 частных производных локального поля скорости
(2)
Преобразуем (1) составляющие относительной скорости du, dv, dw к виду:
(3)
Введенные символы имеют значения
(4)
и
. (5)
Заметим, что Ŵ.
Каждый член в (4), (5) имеет геометрическую и физическую интерпретацию или физический смысл.
Уравнения (3) определяют поле относительных скоростей, в котором du,dv,dw являются линейными функциями пространственных координат.
Смысл членов в (4), (5). Величины представляют удлинение элемента жидкости в направлении x,y,z соответственно. Общее удлинение есть Ŵ – объемное расширение или сжатие жидкости. Каждый из диагональных членов определяет скорость искажения прямого угла, лежащего в плоскости, нормальной к оси, индекс которой отсутствует в двойном индексе недиагонального члена матрицы (4). Это искажение сохраняет объем и изменяет только форму элемента жидкости.
Компоненты завихренности поля скоростей вектора Ŵ представляют угловые скорости мгновенного вращения элемента жидкости как твердого тела.
В общем случае движение элемента жидкости может быть разложено на 4 составляющих:
1) на чистое параллельное перемещение, определяемое составляющими скорости u,v,w.
2) на вращение как твердого тела, определяемое составляющими вектора Ŵ.
3) на объемное расширение, определяемое величиной Ŵ
4) на искажение геометрической формы, определяемое величинами .
Элементы матрицы (4) образуют систему составляющих симметричного тензора – тензора скоростей деформации.
Тензор напряжений
Когда жидкость покоится, в ней существует однородное поле гидростатического давления (отрицательное давление -p). Если же жидкость движется, то уравнение состояния должно определять также давление в каждой точке (принцип локального состояния), и поэтому нормальные напряжения есть
. (1)
Нормальные и касательные напряжения образуют симметричный тензор напряжений, существование которого обязано движению. Полная интерпретация требует воспользоваться тензорным исчислением (см. сноски).
4.1. Идеальная жидкость, ее тензор напряжений
Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. В реальных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. Именно в этих случаях рассматривают среды, как идеальные.
Во всех случаях справедлива формула Коши
. (1)
По определению идеальной жидкости
. (2)
Подставляя (2) в (1), имеем
. (3)
Поскольку
, (4)
из (3) следует, что
. (5)
Формулы (2) перепишутся в виде
. (6)
Из (6) следует, что в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентировки площадки. Величина p наз. давлением. Из (6) следует, что составляющие тензора напряжений . Тензор напряжений идеальной жидкости будет иметь вид
. (7)
Вязкая жидкость
Вязкой жидкостью наз. жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Причиной вязкости касательных напряжений является хаотическое движение молекул, переход из слоя в слой создает торможение движущихся слоев относительно друг друга.
Жидкость наз. вязкой ньютоновской, если выполнены условия:
1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;
2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;
3) жидкость изотропна, т.е. ее свойства одинаковы по всем направлениям
Условия 1) означает, что , если все . Условие 2) означает, что могут быть представлены через , учитывая симметрию тензора напряжений. Условие 3) означает, что коэффициенты в связи через не зависят от выбора системы координат.
Таким образом, связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в любых осях координат имеет вид
. (1)
Из (1) составляющие тензора напряжений в вязкой жидкости будут:
;
; (2)
.
Замечание. Если , то тензор напряжений вязкой жидкости обращается в тензор напряжений идеальной жидкости. Здесь μ – коэффициент сдвиговой вязкости, λ – коэффициент объемной вязкости.
5.1. Нетеплопроводная среда.
Жидкость называется нетеплопроводной, если вектор потока тепла q равен нулю. Схему нетеплопроводной жидкости используют в случае, когда явление теплопроводности оказывает малое влияние на физический процесс, и обычно принимают одновременно с предположением об идеальной жидкости.
Уравнение энергии для идеальной нетеплопроводной жидкости имеет вид:
. (3)
Для широкого класса изотропных сред справедлив закон теплопроводности Фурье: количество тепла dq, прошедшее внутрь за время dt через площадку dS с нормалью n, пропорционально dSdt и производной от температуры по нормали: .
Жидкость называется несжимаемой, если ее плотность в частице при движении сохраняется. В переменных Эйлера это означает:
или . (4)
При условии (4) уравнение неразрывности будет . Схему несжимаемой жидкости используют при рассмотрении движений капельных жидкостей, а также при рассмотрении движений газов с небольшими скоростями.
5.2. Сжимаемая жидкость. В общем случае плотность является функцией давления и температуры. Уравнение, связывающее плотность давление и температуру – уравнение состояния
Ф (ρ, p, T)=0. (5)
Для идеальных в термодинамическом смысле газов уравнение состояния – уравнение Клапейрона
, (6)
где V – уд. объем, R0 – универсальная газовая постоянная. Этому уравнению подчиняются многие газы, если давление p не очень большое и температура T не слишком низкая. При более высоких давлениях часто используют уравнение Ван дер Ваальса