Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида a11 а12 … а1n
а21 а22 … а2n = А= (аij)
аm1 аm2 … аmn
аij – это элемент матрицы стоящей на пересечении i-й строки и j-того столбца.
Опр. Матрица называется прямоугольной порядка m*n если число строк m не равно числу столбцов n.
Матрица называется квадратной порядка n если m=n.
Матрица называется треугольной если все элементы стоящие под или над главной диагональю = 0.
Матрица у которой на главной диагонали стоят единицы а все остальные элементы =0 называется единичной и обозначается E=E .
2) Операции над матрицами: сумма, произведение, умножение матрицы на число.
Суммой двух матриц А(aij), B(bij) одного порядка называется матрица С=(cij) такого же порядка у которой каждый элемент cij=aij+bij.
Произведением матрицы A=(aij) на число λ называется матрица C(cij) такого же порядка каждый элемент которой равен cij=λcij.
Произведение матрицы A=(aij) порядка m*k на матрицу B=(bij) порядка k*m называется матрица C=(cij) порядка m*n , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элемента i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В т.е.
Cij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+ain*bnj
Замечание 1: Количество столбцов 1 матрицы должно быть равно кол-ву строк второй матрицы, иначе умножение не определено.
Замечание2: Умножение матриц в общем случае не перестановочно. АВ не равно ВА
Этот способ определителя называется правилом треугольников
Определитель n-го порядка: Введем определитель 4-го порядка как число получающееся по следующему правилу.
Замечание 1: Формула разложения определителя по 1-й строке аналогично можно ввести определитель более высокого порядка. Все свойства определителей остаются справедливыми.
Замечание2: С помощью свойств любой определитель можно привести к треугольному виду определитель треугольного вида равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
4) Перечислить все свойства определителей. Доказать любое из них.
1. Величина определителя не изменяется при транспонировании .
3. Если определитель имеет 2-е одинаковые строки (2-а одинаковых столбца), то он равен 0.
4. Умножение всех элементов одной строки (одного столбца) определителя на число лямбда равносильно умножению всего определителя на это число.
5. Если определитель содержит 0-ю строку (0-й столбец) то он равен 0. (Для док-ва расписать по правилу треугольников).
6. Если 2-е строки (2-а столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
7. Если определитель содержит 2-е одинаковые строки (2-а одинаковых) столбца то он равен 0.
8. Если каждый элемент некоторой строки (некоторого столбца) определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых то определитель то определитель может быть представлен в виде суммы 2-х определителей один из которых содержит в этой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых, другой вторые, элементы стоящие на остальных местах во всех 3-х определителях одинаковы.
9. Величина определителя не изменится если к элементам некоторой строки (некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (др. столбца) умноженные на любое число
10. Минором Mij элемента aij определителя называется определитель полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца . Определение: Алгиброическим дополнением Аij к элементу aij определителя называется минором Mij умноженной на (-1) в степени i+j. Aij=(-1) степень ij * Mij
11. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (любого столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Опр: Это свойство называется разложением определителя по строке или столбцу.
12. Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна 0.